Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto e:
a) é paralela à reta
b) é paralela à reta que passa pelos pontos e
c) é paralela à reta s
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A = (2, 0, -3) e que:
a) é paralela à reta s dada por
b) é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1, 0, 4) e C = (2, 1, 3)
c) é paralela à reta s novamente
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa uma reta ser paralela a outra. Duas retas são paralelas se elas têm a mesma direção, ou seja, seus vetores diretores são proporcionais.
Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor de cada reta com a qual a reta r vai ser paralela.
Passo 3
Parte a)
A reta s está dada por . Esse tipo de representação é chamada de equações simétricas. Para encontrar o vetor diretor da reta s, olhamos os denominadores das frações, que nos dão as direções nas coordenadas x, y e z.
Portanto, o vetor diretor da reta s é .
Como a reta r é paralela à reta s, seu vetor diretor será o mesmo ou um múltiplo desse vetor. Vamos usar o mesmo vetor para simplificar.
Passo 4
Agora que temos o ponto por onde a reta r passa, que é A = (2, 0, -3), e sabemos o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta r.
As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde é um ponto da reta e são as componentes do vetor diretor, e é o parâmetro.
Passo 5
Parte b)
Agora, precisamos encontrar o vetor diretor da reta que passa pelos pontos B = (1, 0, 4) e C = (2, 1, 3).
Para isso, subtraímos as coordenadas de B das coordenadas de C:
d = C - B = (2-1, 1-0, 3-4) = (1, 1, -1)
Então, o vetor diretor dessa reta é .
Como a reta r é paralela a essa, seu vetor diretor também será .
Passo 6
Parte c)
Essa parte repete a situação da parte a), onde a reta r é paralela à reta s dada por . Já identificamos o vetor diretor da reta s como , então o vetor diretor da reta r será o mesmo.