Dados os vetores , calcule e o ângulo entre os dois vetores
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto vetorial de dois vetores e , além de encontrar o ângulo entre eles. Aqui, estamos trabalhando com vetores na matéria de Álgebra Vetorial. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial e usar a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores dados:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores em dimensões 3D é dado por:
Como nossos vetores estão no plano XY, os componentes z (az e bz) são zero. Então:
a = (4, 0, 0)
b = (2, 3, 0)
Calculando o determinante:
a times b = (0 cdot 0 - 0 cdot 3),i - (4 cdot 0 - 0 cdot 2),j + (4 cdot 3 - 0 cdot 2),k = 12,k
Passo 4
Agora, para encontrar o ângulo theta entre os vetores a e b, usamos a fórmula do produto escalar:
a cdot b = |a|,|b|,cos(theta)
Primeiro, calculamos o produto escalar:
a cdot b = (4)(2) + (0)(3) + (0)(0) = 8
Em seguida, calculamos as magnitudes dos vetores:
|a| = raiz4^2 + 0^2 + 0^2 = 4
|b| = raiz2^2 + 3^2 + 0^2 = raiz4 + 9 = raiz13
Agora, substituímos na fórmula:
8 = 4 cdot raiz13 cdot cos(theta)
cos(theta) = 84 cdot raiz13 = 2raiz13
Finalmente, calculamos o ângulo:
theta = arccos(2raiz13) approx 56,25^circ
Resposta
O produto vetorial a times b é igual a 12,k e o ângulo entre os vetores a e b é aproximadamente 56,25^circ.