Dados os vetores u=-i-j-3 k, v=-i-2 j-3 k, calcule:
o ângulo entre u e v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = -i - j - 3k e v = -i - 2j - 3k. A parada é calcular o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do produto escalar (ou produto ponto) e as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores u e v é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Onde ux, uy, uz são as componentes de u e vx, vy, vz são as componentes de v. Vamos calcular isso com nossos vetores:
u cdot v = (-1)(-1) + (-1)(-2) + (-3)(-3) = 1 + 2 + 9 = 12

Passo 3

Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou módulos) de cada vetor. A magnitude de um vetor u é dada por:
||u|| = raizux^2 + uy^2 + uz^2
Vamos calcular para u:
||u|| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz1 + 1 + 9 = raiz11
E para v:
||v|| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores:
cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v||
Plugando os valores que encontramos:
cos(theta) = 12raiz11 times raiz14 = 12raiz154 approx 1212,4097 approx 0,966
Agora, para achar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(0,966) approx 15^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 15^circ.

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