Dados os vetores A=3 i+4 j-2 k e B=-2 i+j+3 k, calcule:
c - O ângulo entre A e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem dois vetores: A = 3 i + 4 j - 2 k e B = -2 i + j + 3 k. O que a gente precisa encontrar é o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos utilizar o conceito de produto escalar e magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre A e B. O produto escalar é dado por:
A cdot B = Ax cdot Bx + Ay cdot By + Az cdot Bz
Substituindo os valores:
A cdot B = (3)(-2) + (4)(1) + (-2)(3) = -6 + 4 - 6 = -8

Passo 3

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores A e B. A magnitude de um vetor V = Vx i + Vy j + Vz k é dada por:
|V| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2
Para A:
|A| = raiz3^2 + 4^2 + (-2)^2 = raiz9 + 16 + 4 = raiz29
Para B:
|B| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores:
cos(theta) = A cdot B|A| cdot |B|
Substituindo os valores:
cos(theta) = -8raiz29 cdot raiz14 = -8raiz406 approx -820.15 approx -0.397

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos a função inversa do cosseno:
theta = arccos(-0.397) approx 113.1^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores A e B é aproximadamente 113,1^circ.

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