Seja um vetor genérico no espaço. Encontre a expressão para o módulo de e determine os valores de , y e para que tenha módulo igual a 10 e faça um ângulo de com o eixo .

Passo 1

Vamos resolver um problema envolvendo vetores no espaço. Temos um vetor genérico . Nosso objetivo é encontrar a expressão para o módulo desse vetor e determinar os valores de , e de modo que o módulo de seja igual a 10 e ele forme um ângulo de com o eixo . Para isso, vamos precisar entender como calcular o módulo de um vetor e como relacionar esse módulo com o ângulo que o vetor forma com um dos eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para o módulo de . O módulo de um vetor é dado pela fórmula:
Essa fórmula nos diz que o módulo do vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes , e .

Passo 3

Sabemos que o módulo de deve ser igual a 10. Então, temos a equação:
Para simplificar, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos considerar o ângulo que o vetor forma com o eixo . O cosseno desse ângulo, que chamaremos de , é dado por:
Sabemos que e . Então:
Como , temos:
Multiplicando ambos os lados por 10:

Passo 5

Com o valor de encontrado, podemos voltar à equação para encontrar e . Substituindo :
Calculando :
Então:
Isolando :

Passo 6

Para determinar valores específicos de e , precisamos de mais informações ou de restrições adicionais. No entanto, com base nas informações fornecidas, existem infinitas soluções para e que satisfazem . Sem restrições adicionais, podemos expressar e em termos de um parâmetro, por exemplo:
Onde pode ser qualquer ângulo.

Resposta

A expressão para o módulo de é . Para que tenha módulo igual a 10 e faça um ângulo de com o eixo , os valores de , e são:
onde é um ângulo qualquer.

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Dados os vetores e , calcule:
c - O ângulo entre e .
Dado o vetor , determine:
a - A projeção de no eixo .