Seja
um vetor genérico no espaço. Encontre a expressão para o módulo de
e determine os valores de
, y e
para que
tenha módulo igual a 10 e faça um ângulo de
com o eixo
.
Passo 1
Vamos resolver um problema envolvendo vetores no espaço. Temos um vetor genérico
. Nosso objetivo é encontrar a expressão para o módulo desse vetor e determinar os valores de
,
e
de modo que o módulo de
seja igual a 10 e ele forme um ângulo de
com o eixo
. Para isso, vamos precisar entender como calcular o módulo de um vetor e como relacionar esse módulo com o ângulo que o vetor forma com um dos eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão para o módulo de
. O módulo de um vetor
é dado pela fórmula:
Essa fórmula nos diz que o módulo do vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes
,
e
.
Passo 3
Sabemos que o módulo de
deve ser igual a 10. Então, temos a equação:
Para simplificar, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Agora, vamos considerar o ângulo que o vetor
forma com o eixo
. O cosseno desse ângulo, que chamaremos de
, é dado por:
Sabemos que
e
. Então:
Como
, temos:
Multiplicando ambos os lados por 10:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos voltar à equação
para encontrar
e
. Substituindo
:
Calculando
:
Então:
Isolando
:
Passo 6
Para determinar valores específicos de
e
, precisamos de mais informações ou de restrições adicionais. No entanto, com base nas informações fornecidas, existem infinitas soluções para
e
que satisfazem
. Sem restrições adicionais, podemos expressar
e
em termos de um parâmetro, por exemplo:
Onde
pode ser qualquer ângulo.
Resposta
A expressão para o módulo de
é
. Para que
tenha módulo igual a 10 e faça um ângulo de
com o eixo
, os valores de
,
e
são:
onde
é um ângulo qualquer.