Seja U=x i+y j+z k um vetor genérico no espaço. Encontre a expressão para o módulo de U e determine os valores de x, y e z para que U tenha módulo igual a 10 e faça um ângulo de 45^circ com o eixo x.

Passo 1

Vamos resolver um problema envolvendo vetores no espaço. Temos um vetor genérico U = x i + y j + z k. Nosso objetivo é encontrar a expressão para o módulo desse vetor e determinar os valores de x, y e z de modo que o módulo de U seja igual a 10 e ele forme um ângulo de 45^circ com o eixo x. Para isso, vamos precisar entender como calcular o módulo de um vetor e como relacionar esse módulo com o ângulo que o vetor forma com um dos eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para o módulo de U. O módulo de um vetor U = x i + y j + z k é dado pela fórmula:
|U| = raizx^2 + y^2 + z^2
Essa fórmula nos diz que o módulo do vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes x, y e z.

Passo 3

Sabemos que o módulo de U deve ser igual a 10. Então, temos a equação:
raizx^2 + y^2 + z^2 = 10
Para simplificar, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 + z^2 = 100

Passo 4

Agora, vamos considerar o ângulo que o vetor U forma com o eixo x. O cosseno desse ângulo, que chamaremos de theta, é dado por:
costheta = x|U|
Sabemos que theta = 45^circ e |U| = 10. Então:
cos45^circ = x10
Como cos45^circ = raiz22, temos:
raiz22 = x10
Multiplicando ambos os lados por 10:
x = 10 cdot raiz22 = 5raiz2

Passo 5

Com o valor de x encontrado, podemos voltar à equação x^2 + y^2 + z^2 = 100 para encontrar y e z. Substituindo x = 5raiz2:
(5raiz2)^2 + y^2 + z^2 = 100
Calculando (5raiz2)^2:
25 cdot 2 = 50
Então:
50 + y^2 + z^2 = 100
Isolando y^2 + z^2:
y^2 + z^2 = 50

Passo 6

Para determinar valores específicos de y e z, precisamos de mais informações ou de restrições adicionais. No entanto, com base nas informações fornecidas, existem infinitas soluções para y e z que satisfazem y^2 + z^2 = 50. Sem restrições adicionais, podemos expressar y e z em termos de um parâmetro, por exemplo:
y = raiz50 cosphi
z = raiz50 sinphi
Onde phi pode ser qualquer ângulo.

Resposta

A expressão para o módulo de U é |U| = raizx^2 + y^2 + z^2. Para que U tenha módulo igual a 10 e faça um ângulo de 45^circ com o eixo x, os valores de x, y e z são:
x = 5raiz2, y = raiz50 cosphi, z = raiz50 sinphi
onde phi é um ângulo qualquer.

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