Dados os vetores linearmente dependentes , e se , então não necessariamente ocorre as igualdades e .

Passo 1

Então, temos três vetores , e que são linearmente dependentes. Isso significa que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor nulo . No enunciado, são dadas duas combinações lineares diferentes que resultam no vetor nulo:
Vamos precisar entender o que é linearmente dependente e como isso afeta as combinações de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que vetores são linearmente dependentes. Isso quer dizer que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma relação onde multiplicamos cada vetor por um escalar e somamos, resultando no vetor nulo, mas nem todos os escalares são zero.

Passo 3

Dado que as combinações e resultam no vetor nulo, queremos mostrar que os coeficientes , , não precisam necessariamente ser iguais a , , .

Passo 4

Vamos considerar a diferença entre as duas equações:
Como os vetores , e são linearmente dependentes, essa combinação também pode resultar no vetor nulo sem que necessariamente todos os coeficientes sejam zero.

Passo 5

Isso significa que os coeficientes , e não precisam ser todos iguais a zero. Portanto, podemos ter , ou mesmo que ambas as combinações resultem no vetor nulo.

Passo 6

Concluímos então que, para vetores linearmente dependentes, múltiplas combinações lineares podem resultar no vetor nulo sem que os coeficientes dessas combinações sejam necessariamente iguais.

Resposta

Não necessariamente , e . As combinações lineares podem ser diferentes mesmo resultando no vetor nulo quando os vetores são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis e, caso positivo, determine a sua inversa:
©
Nos exercícios 56 . 65 assume-se que está orientado e que as coordenadas de vetores estão expressas em relação a uma base ortonormal positiva .
Calcule a área do triângulo , sendo e .
Determine a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor nos casos:
(i)
(ii)
(iii)
Para cada par de vetores a seguir, determine se o ângulo entre é agudo, obtuso ou reto.
(i)
(ii)
(iii)