Nos exercícios 56 . 65 assume-se que está orientado e que as coordenadas de vetores estão expressas em relação a uma base ortonormal positiva .
Calcule a área do triângulo , sendo e A B=(0,1,3).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que estamos trabalhando em um espaço tridimensional com uma base ortonormal positiva, ou seja, os vetores imath, jmath e k são perpendiculares entre si e têm comprimento 1. Precisamos calcular a área do triângulo ABC usando os vetores AC=(-1,1,0) e AB=(0,1,3). Para isso, vamos usar conceitos de vetores, produto vetorial e magnitude.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a área do triângulo formado por dois vetores, usamos a fórmula:
Área = 12 | AB times AC | Á
Aqui, AB times AC é o produto vetorial entre os vetores AB e AC, e | cdot | representa a magnitude do vetor resultante.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial AB times AC. Para dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), o produto vetorial é dado por:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, ; u3 v1 - u1 v3, ; u1 v2 - u2 v1 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
AB = (0,1,3) AC = (-1,1,0)
Então:
AB times AC = ( 1 cdot 0 - 3 cdot 1, ; 3 cdot (-1) - 0 cdot 0, ; 0 cdot 1 - 1 cdot (-1) )
Passo 4
Vamos calcular cada componente:
Componente imath:
1 cdot 0 - 3 cdot 1 = 0 - 3 = -3
Componente jmath:
3 cdot (-1) - 0 cdot 0 = -3 - 0 = -3
Componente k:
0 cdot 1 - 1 cdot (-1) = 0 + 1 = 1
Então, o produto vetorial é:
AB times AC = (-3, -3, 1)
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante. A magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é dada por:
| w | = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando aos nossos componentes:
| AB times AC | = raiz(-3)^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz9 + 9 + 1 = raiz19
Passo 6
Finalmente, aplicamos a fórmula da área:
Área = 12 raiz19 approx 12 times 4,359 = 2,179 unidades de área Áá
Resposta
A área do triângulo ABC é raiz192, aproximadamente 2,179 unidades de área.