Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis e, caso positivo, determine a sua inversa:
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Passo 1

Beleza, vamos verificar se a matriz é inversível. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e matrizes inversas. Primeiro, precisamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível e podemos encontrar a sua inversa.

Passo 2

Vamos calcular o determinante da matriz . Para uma matriz 3x3, a fórmula do determinante é:
Onde os elementos da matriz são:

Passo 3

Aplicando os valores da matriz :
Agora substituímos na fórmula do determinante:

Passo 4

Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero, concluímos que a matriz é inversível.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz . Para uma matriz 3x3, a inversa é dada por:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores.

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar a matriz de cofatores de . Cada elemento do cofator é calculado como:
Onde é o menor complementar do elemento na posição .

Passo 8

Calculando os menores complementares:

Passo 9

Aplicando o fator para cada cofator:
Então, a matriz de cofatores é:

Passo 10

Agora, encontramos a adjunta de que é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, a inversa de é:
Simplificando as frações:

Resposta

A matriz é inversível, e a sua inversa é:

Exercícios relacionados

Nos exercícios 56 . 65 assume-se que está orientado e que as coordenadas de vetores estão expressas em relação a uma base ortonormal positiva .
Calcule a área do triângulo , sendo e .
Ex. 2. Simplifique:
(k) ;
Dados os vetores linearmente dependentes , e se , então não necessariamente ocorre as igualdades e .
Determine a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor nos casos:
(i)
(ii)
(iii)