Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis e, caso positivo, determine a sua inversa:
© C=[ccc1 & 1 & -1 2 & 1 & 1 3 & -1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a matriz 1 & 1 & -1 2 & 1 & 1 3 & -1 & 1 é inversível. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e matrizes inversas. Primeiro, precisamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível e podemos encontrar a sua inversa.

Passo 2

Vamos calcular o determinante da matriz det(C) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Para uma matriz 3x3, a fórmula do determinante é:
C = a & b & c d & e & f g & h & i
Onde os elementos da matriz são:

Passo 3

Aplicando os valores da matriz a = 1, b = 1, c = -1 d = 2, e = 1, f = 1 g = 3, h = -1, i = 1 :
det(C) = 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) - 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 3) + (-1) cdot (2 cdot (-1) - 1 cdot 3)
Agora substituímos na fórmula do determinante:

Passo 4

Calculando cada parte:
1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) = 1 cdot (1 + 1) = 1 cdot 2 = 2
-1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 3) = -1 cdot (2 - 3) = -1 cdot (-1) = 1
(-1) cdot (2 cdot (-1) - 1 cdot 3) = -1 cdot (-2 - 3) = -1 cdot (-5) = 5
Somando tudo:
det(C) = 2 + 1 + 5 = 8

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero, concluímos que a matriz é inversível.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz C^-1 = 1det(C) cdot adj(C) . Para uma matriz 3x3, a inversa é dada por:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores.

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar a matriz de cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Cada elemento do cofator é calculado como:
Onde é o menor complementar do elemento na posição .

Passo 8

Calculando os menores complementares:
M11 = 1 & 1 -1 & 1 = (1)(1) - (1)(-1) = 1 + 1 = 2
M12 = 2 & 1 3 & 1 = (2)(1) - (1)(3) = 2 - 3 = -1
M13 = 2 & 1 3 & -1 = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5
M21 = 1 & -1 -1 & 1 = (1)(1) - (-1)(-1) = 1 - 1 = 0
M22 = 1 & -1 3 & 1 = (1)(1) - (-1)(3) = 1 + 3 = 4
M23 = 1 & 1 3 & -1 = (1)(-1) - (1)(3) = -1 - 3 = -4
M31 = 1 & -1 1 & 1 = (1)(1) - (-1)(1) = 1 + 1 = 2
M32 = 1 & -1 2 & 1 = (1)(1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3
M33 = 1 & 1 2 & 1 = (1)(1) - (1)(2) = 1 - 2 = -1

Passo 9

Aplicando o fator C11 = (-1)^2 cdot 2 = 1 cdot 2 = 2 para cada cofator:
C12 = (-1)^1+2 cdot (-1) = -1 cdot (-1) = 1
C13 = (-1)^1+3 cdot (-5) = 1 cdot (-5) = -5
C21 = (-1)^2+1 cdot 0 = -1 cdot 0 = 0
C22 = (-1)^2+2 cdot 4 = 1 cdot 4 = 4
C23 = (-1)^2+3 cdot (-4) = -1 cdot (-4) = 4
C31 = (-1)^3+1 cdot 2 = 1 cdot 2 = 2
C32 = (-1)^3+2 cdot 3 = -1 cdot 3 = -3
C33 = (-1)^3+3 cdot (-1) = 1 cdot (-1) = -1
Cof(C) = 2 & 1 & -5 0 & 4 & 4 2 & -3 & -1
Então, a matriz de cofatores é:

Passo 10

Agora, encontramos a adjunta de adj(C) = Cof(C)^T = 2 & 0 & 2 1 & 4 & -3 -5 & 4 & -1 que é a transposta da matriz de cofatores:
C^-1 = 1det(C) cdot adj(C) = 18 cdot 2 & 0 & 2 1 & 4 & -3 -5 & 4 & -1 = 28 & 0 & 28 18 & 48 & -38 -58 & 48 & -18
Finalmente, a inversa de C^-1 = 14 & 0 & 14 18 & 12 & -38 -58 & 12 & -18 é:
Simplificando as frações:

Resposta

A matriz C^-1 = 14 & 0 & 14 18 & 12 & -38 -58 & 12 & -18 é inversível, e a sua inversa é:

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