Determine a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor nos casos:
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de projeção ortogonal de vetores! A gente vai trabalhar com álgebra vetorial, especificamente com a projeção de um vetor sobre outro. Para isso, vamos usar a fórmula da projeção, que envolve produto interno (ou escalar) e a multiplicação por um escalar. Vamos precisar calcular o produto interno dos vetores e depois aplicar a fórmula para cada um dos três casos que você enviou.
Passo 2
Caso (i): e
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de sobre :
Onde é o produto interno dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno :
Passo 4
Agora, calculamos o produto interno :
Passo 5
Aplicamos os valores na fórmula da projeção:
Passo 6
Caso (ii): e
Vamos seguir os mesmos passos. Primeiro, calculamos o produto interno :
Passo 7
Calculamos o produto interno :
Passo 8
Aplicamos os valores na fórmula da projeção:
Passo 9
Caso (iii): e
Primeiro, calculamos o produto interno :
Passo 10
Calculamos o produto interno :
Passo 11
Aplicamos os valores na fórmula da projeção:
Resposta
As projeções ortogonais dos vetores sobre os vetores são: