Determine a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor nos casos:
(i)
(ii)
(iii)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de projeção ortogonal de vetores! A gente vai trabalhar com álgebra vetorial, especificamente com a projeção de um vetor sobre outro. Para isso, vamos usar a fórmula da projeção, que envolve produto interno (ou escalar) e a multiplicação por um escalar. Vamos precisar calcular o produto interno dos vetores e depois aplicar a fórmula para cada um dos três casos que você enviou.

Passo 2

Caso (i): e
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de sobre :
Onde é o produto interno dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno :

Passo 4

Agora, calculamos o produto interno :

Passo 5

Aplicamos os valores na fórmula da projeção:

Passo 6

Caso (ii): e
Vamos seguir os mesmos passos. Primeiro, calculamos o produto interno :

Passo 7

Calculamos o produto interno :

Passo 8

Aplicamos os valores na fórmula da projeção:

Passo 9

Caso (iii): e
Primeiro, calculamos o produto interno :

Passo 10

Calculamos o produto interno :

Passo 11

Aplicamos os valores na fórmula da projeção:

Resposta

As projeções ortogonais dos vetores sobre os vetores são:

Exercícios relacionados

Dados os vetores linearmente dependentes , e se , então não necessariamente ocorre as igualdades e .
Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis e, caso positivo, determine a sua inversa:
©
Para cada par de vetores a seguir, determine se o ângulo entre é agudo, obtuso ou reto.
(i)
(ii)
(iii)
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(a) ;