Determine a projeção ortogonal do vetor w sobre o vetor v nos casos:
(i) w=(1,-1,2), v=(3,-1,1)
(ii) w=(-1,1,1), v=(-2,1,2)
(iii) w=(1,3,-1), v=(-3,2,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de projeção ortogonal de vetores! A gente vai trabalhar com álgebra vetorial, especificamente com a projeção de um vetor sobre outro. Para isso, vamos usar a fórmula da projeção, que envolve produto interno (ou escalar) e a multiplicação por um escalar. Vamos precisar calcular o produto interno dos vetores e depois aplicar a fórmula para cada um dos três casos que você enviou.

Passo 2

Caso (i): w = (1, -1, 2) e v = (3, -1, 1)
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de w sobre v:
projv(w) = ( w cdot vv cdot v ) v
Onde w cdot v é o produto interno dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno w cdot v:
w cdot v = (1)(3) + (-1)(-1) + (2)(1) = 3 + 1 + 2 = 6

Passo 4

Agora, calculamos o produto interno v cdot v:
v cdot v = (3)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 9 + 1 + 1 = 11

Passo 5

Aplicamos os valores na fórmula da projeção:
projv(w) = ( 611 ) v = 611 (3, -1, 1) = ( 1811, -611, 611 )

Passo 6

Caso (ii): w = (-1, 1, 1) e v = (-2, 1, 2)
Vamos seguir os mesmos passos. Primeiro, calculamos o produto interno w cdot v:
w cdot v = (-1)(-2) + (1)(1) + (1)(2) = 2 + 1 + 2 = 5

Passo 7

Calculamos o produto interno v cdot v:
v cdot v = (-2)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9

Passo 8

Aplicamos os valores na fórmula da projeção:
projv(w) = ( 59 ) v = 59 (-2, 1, 2) = ( -109, 59, 109 )

Passo 9

Caso (iii): w = (1, 3, -1) e v = (-3, 2, 0)
Primeiro, calculamos o produto interno w cdot v:
w cdot v = (1)(-3) + (3)(2) + (-1)(0) = -3 + 6 + 0 = 3

Passo 10

Calculamos o produto interno v cdot v:
v cdot v = (-3)^2 + (2)^2 + (0)^2 = 9 + 4 + 0 = 13

Passo 11

Aplicamos os valores na fórmula da projeção:
projv(w) = ( 313 ) v = 313 (-3, 2, 0) = ( -913, 613, 0 )

Resposta

As projeções ortogonais dos vetores w sobre os vetores v são:
(i) & projv(w) = ( 1811, -611, 611 ) (ii) & projv(w) = ( -109, 59, 109 ) (iii) & projv(w) = ( -913, 613, 0 )

Exercícios relacionados