Dados os vetores linearmente independentes u, v e w se alpha u+beta v+de, então alpha=alpha^prime, beta=beta^prime e de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores que são linearmente independentes, especificamente os vetores u, v e w. O que precisamos mostrar é que se duas combinações lineares desses vetores resultam no vetor nulo ( emptyset), então os coeficientes dessas combinações devem ser iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como usar essa propriedade para comparar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Dizemos que vetores são linearmente independentes se a única solução para a equação alpha u + beta v + de é alpha = beta = de. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 3

Agora, temos duas combinações lineares diferentes que resultam no vetor nulo:
alpha u + beta v + de
e
alpha^prime u + beta^prime v + de

Passo 4

Como os vetores são linearmente independentes, sabemos que a única solução para cada uma dessas equações é que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja:
alpha = beta = de
e
alpha^prime = beta^prime = de

Passo 5

Mas, como ambas as combinações resultam no vetor nulo e cada uma dos coeficientes é zero, isso implica que:
alpha = alpha^prime
beta = beta^prime
de

Resposta

Portanto, mostramos que alpha = alpha^prime, beta = beta^prime e de.

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Mostre que se alpha, beta e gamma são não-nulos, então os vetores do espaço u=a i+b j+c k=(a, b, c) e v= alpha i+beta j+gamma k=(alpha, beta, gamma) são paralelos se, e somente se, aalpha=bbeta=cgamma. Vale um resultado análogo para vetores do plano.
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