Dados os vetores linearmente independentes
e
se
, então
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores que são linearmente independentes, especificamente os vetores
,
e
. O que precisamos mostrar é que se duas combinações lineares desses vetores resultam no vetor nulo (
), então os coeficientes dessas combinações devem ser iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como usar essa propriedade para comparar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Dizemos que vetores são linearmente independentes se a única solução para a equação
é
. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 3
Agora, temos duas combinações lineares diferentes que resultam no vetor nulo:
e
Passo 4
Como os vetores são linearmente independentes, sabemos que a única solução para cada uma dessas equações é que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja:
e
Passo 5
Mas, como ambas as combinações resultam no vetor nulo e cada uma dos coeficientes é zero, isso implica que:
Resposta
Portanto, mostramos que
,
e
.
Exercícios relacionados
Ex. 2. Simplifique:
(d) ;
(d)
Mostre que se
e
são não-nulos, então os vetores do espaço
e
são paralelos se, e somente se,
. Vale um resultado análogo para vetores do plano.
Mostre que os pontos
e
são vértices de um triângulo retângulo.
Ex. 2. Simplifique:
(i) ;
(i)