Mostre que os pontos
e
são vértices de um triângulo retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço:
,
e
. O objetivo é mostrar que esses três pontos formam um triângulo retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço tridimensional, especificamente a fórmula para calcular a distância entre dois pontos. Vamos precisar calcular as distâncias entre cada par de pontos e ver se elas obedecem ao Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Se tivermos dois pontos
e
, a distância
entre eles é dada por:
Como vamos comparar as distâncias para verificar se obedecem ao Teorema de Pitágoras, podemos trabalhar com os quadrados das distâncias e evitar a raiz quadrada para simplificar os cálculos.
Passo 3
Vamos calcular os quadrados das distâncias entre cada par de pontos:
- Distância entre A e B (
):
- Distância entre A e C (
):
- Distância entre B e C (
):
Passo 4
Agora, vamos verificar se alguma combinação dos quadrados das distâncias satisfaz o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Temos:
-
e -
e -
e
A única combinação que satisfaz a igualdade é a primeira:
.
Passo 5
Como
, isso significa que o ângulo entre os lados
e
é reto. Ou seja, o triângulo formado pelos pontos
,
e
é retângulo no vértice
.
Resposta
Portanto, os pontos
,
e
são vértices de um triângulo retângulo com o ângulo reto no ponto
.
Exercícios relacionados
Dados os vetores linearmente independentes
e
se
, então
e
.
Ex. 2. Simplifique:
(d) ;
(d)
Ex. 2. Simplifique:
(i) ;
(i)
Determinar a equação polar da circunferência de centro no ponto
e que passa pelo ponto
.