Mostre que os pontos A(1,0,1), B(-1,0,2) e C(1,1,1) são vértices de um triângulo retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e . O objetivo é mostrar que esses três pontos formam um triângulo retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço tridimensional, especificamente a fórmula para calcular a distância entre dois pontos. Vamos precisar calcular as distâncias entre cada par de pontos e ver se elas obedecem ao Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Se tivermos dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e , a distância entre eles é dada por:
Como vamos comparar as distâncias para verificar se obedecem ao Teorema de Pitágoras, podemos trabalhar com os quadrados das distâncias e evitar a raiz quadrada para simplificar os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular os quadrados das distâncias entre cada par de pontos:
  1. Distância entre A e B ( AB^2 = (-1 - 1)^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 1)^2 = (-2)^2 + 0^2 + 1^2 = 4 + 0 + 1 = 5 ):
AC^2 = (1 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 1)^2 = 0^2 + 1^2 + 0^2 = 0 + 1 + 0 = 1
  1. Distância entre A e C ( BC^2 = (1 - (-1))^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 2)^2 = (2)^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6 ):
  1. Distância entre B e C ( ):

Passo 4

Agora, vamos verificar se alguma combinação dos quadrados das distâncias satisfaz o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Temos:
  1. e
  2. e
  3. e
A única combinação que satisfaz a igualdade é a primeira: .

Passo 5

Como , isso significa que o ângulo entre os lados e é reto. Ou seja, o triângulo formado pelos pontos , e é retângulo no vértice .

Resposta

Portanto, os pontos , e são vértices de um triângulo retângulo com o ângulo reto no ponto .

Exercícios relacionados

Dados os vetores linearmente independentes u, v e w se alpha u+beta v+de, então alpha=alpha^prime, beta=beta^prime e de.
Ex. 2. Simplifique:
(d) 5(m+2)-4(m-9);
Ex. 2. Simplifique:
(i) (x+3)(x+5)-x(x-4);
Determinar a equação polar da circunferência de centro no ponto C(8, pi3) e que passa pelo ponto P(4, 2 pi3).