Mostre que se
e
são não-nulos, então os vetores do espaço
e
são paralelos se, e somente se,
. Vale um resultado análogo para vetores do plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que dois vetores no espaço são paralelos se, e somente se, a razão entre seus componentes correspondentes é a mesma. Estamos lidando com vetores tridimensionais, então vamos usar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro. Ou seja, se existe um número
tal que
.
Passo 3
Vamos supor que
e
são paralelos. Então, existe um escalar
tal que:
Isso dá as seguintes igualdades:
Passo 4
Se isolarmos
em cada equação, temos:
Como todas essas igualdades são verdadeiras, concluímos que:
Passo 5
Agora, vamos fazer o caminho inverso. Suponha que
. Então podemos escrever:
Isso implica que:
Portanto,
é múltiplo escalar de
, o que significa que eles são paralelos.
Resposta
Assim, mostramos que os vetores
e
são paralelos se, e somente se,
. O mesmo raciocínio vale para vetores no plano.
Exercícios relacionados
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(o) .
(o)
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(j) ;
(j)
Ex. 2. Simplifique:
(d) ;
(d)
Dados os vetores linearmente independentes
e
se
, então
e
.