Mostre que se alpha, beta e gamma são não-nulos, então os vetores do espaço u=a i+b j+c k=(a, b, c) e v= alpha i+beta j+gamma k=(alpha, beta, gamma) são paralelos se, e somente se, aalpha=bbeta=cgamma. Vale um resultado análogo para vetores do plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que dois vetores no espaço são paralelos se, e somente se, a razão entre seus componentes correspondentes é a mesma. Estamos lidando com vetores tridimensionais, então vamos usar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro. Ou seja, se existe um número tal que .

Passo 3

Vamos supor que (a, b, c) = k(alpha, beta, gamma) e a = kalpha b = kbeta c = kgamma são paralelos. Então, existe um escalar tal que:
Isso dá as seguintes igualdades:

Passo 4

Se isolarmos k = aalpha k = bbeta k = cgamma em cada equação, temos:
aalpha = bbeta = cgamma
Como todas essas igualdades são verdadeiras, concluímos que:

Passo 5

Agora, vamos fazer o caminho inverso. Suponha que a = kalpha b = kbeta c = kgamma . Então podemos escrever:
u = (a, b, c) = k(alpha, beta, gamma) = kv
Isso implica que:
Portanto, é múltiplo escalar de , o que significa que eles são paralelos.

Resposta

Assim, mostramos que os vetores e são paralelos se, e somente se, . O mesmo raciocínio vale para vetores no plano.

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