Dados os vetores e , escreva e . Supondo e L.I., existem tais que . Prove que é L.D. se, e somente se, (com os mesmos e ). Use esse critério para determinar se os vetores e abaixo são L.I. ou L.D.:
(a)
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional: , e . A parada é transformar esses vetores em vetores bidimensionais, tirando a terceira coordenada, ficando assim: , e .
A ideia central aqui é entender quando o conjunto é linearmente dependente (L.D.) ou independente (L.I.), usando as relações entre os vetores bidimensionais. Para isso, vamos precisar saber sobre combinações lineares e a definição de dependência e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Se houver uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dá zero, então o conjunto é L.D.
No problema, já sabemos que e são L.I., o que significa que eles formam uma base para o espaço bidimensional. Isso nos permite expressar qualquer vetor no plano como uma combinação linear desses dois.

Passo 3

Sabendo que e são L.I., podemos representar como uma combinação linear deles. Ou seja, existem números reais e tais que:
Isso é possível porque e conseguem “alcancar” qualquer vetor no plano bidimensional através de combinações lineares.

Passo 4

Agora, queremos provar que o conjunto é L.D. se e somente se , usando os mesmos e .
Vamos por partes:
Se , então é L.D.
Porque isso significa que pode ser escrito como uma combinação linear de e , então já temos uma relação de dependência.
Se é L.D., então .
Se os três vetores são dependentes, pelo menos um deles pode ser escrito como combinação dos outros dois. Como já temos a relação para os vetores bidimensionais, essa relação se estende para os tridimensionais com os mesmos coeficientes e .

Passo 5

Vamos aplicar isso aos casos específicos:

Caso (a):

, ,
Primeiro, transformamos em vetores bidimensionais:
, ,
Sabemos que e são L.I., então existe e tal que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Agora, verificamos se :
Comparando com , vemos que a terceira coordenada não coincide. Então, a relação não é válida.
Assim, é linearmente independente.

Caso (b):

, ,
Transformando em vetores bidimensionais:
, ,
Como antes, existem e tais que:
Sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Agora, verifica se :
Isso coincide exatamente com .
Então, é linearmente dependente.

Resposta

(a) Os vetores e são linearmente independentes.
(b) Os vetores e são linearmente dependentes.

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© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.