Dados os vetores u=(a1, a2, a3), v=(b1, b2, b3) e w=(c1, c2, c3), escreva u^prime=(a1, a2), v^prime=(b1, b2) e w^prime=(c1, c2). Supondo u^prime e v^prime L.I., existem alpha, beta in R tais que w^prime=alpha u^prime+beta v^prime. Prove que u, v, w é L.D. se, e somente se, w=alpha u+beta v (com os mesmos alpha e beta ). Use esse critério para determinar se os vetores u, v e w abaixo são L.I. ou L.D.:
(a) u=(1,2,3), v=(1,3,2), w=(-1,2,3)
(b) u=(1,2,3), v=(1,3,2), w=(1,4,1).

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional: , e . A parada é transformar esses vetores em vetores bidimensionais, tirando a terceira coordenada, ficando assim: , e .
A ideia central aqui é entender quando o conjunto é linearmente dependente (L.D.) ou independente (L.I.), usando as relações entre os vetores bidimensionais. Para isso, vamos precisar saber sobre combinações lineares e a definição de dependência e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Se houver uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dá zero, então o conjunto é L.D.
No problema, já sabemos que e são L.I., o que significa que eles formam uma base para o espaço bidimensional. Isso nos permite expressar qualquer vetor no plano como uma combinação linear desses dois.

Passo 3

Sabendo que w' = alpha u' + beta v' e são L.I., podemos representar como uma combinação linear deles. Ou seja, existem números reais e tais que:
Isso é possível porque e conseguem “alcancar” qualquer vetor no plano bidimensional através de combinações lineares.

Passo 4

Agora, queremos provar que o conjunto é L.D. se e somente se , usando os mesmos e .
Vamos por partes:
Se , então é L.D.
Porque isso significa que pode ser escrito como uma combinação linear de e , então já temos uma relação de dependência.
Se é L.D., então .
Se os três vetores são dependentes, pelo menos um deles pode ser escrito como combinação dos outros dois. Como já temos a relação para os vetores bidimensionais, essa relação se estende para os tridimensionais com os mesmos coeficientes e .

Passo 5

Vamos aplicar isso aos casos específicos:

Caso (a):

w' = alpha u' + beta v' , (-1, 2) = alpha (1, 2) + beta (1, 3) , -1 = alpha + beta 2 = 2alpha + 3beta
Primeiro, transformamos em vetores bidimensionais:
2 = 2(-1 - beta) + 3beta Rightarrow 2 = -2 - 2beta + 3beta Rightarrow 2 = -2 + beta Rightarrow beta = 4 , w = (-1, 2, 3) e alpha u + beta v = -5(1, 2, 3) + 4(1, 3, 2) = (-5 + 4, -10 + 12, -15 + 8) = (-1, 2, -7) , (1, 4) = alpha (1, 2) + beta (1, 3)
Sabemos que 1 = alpha + beta 4 = 2alpha + 3beta e 4 = 2(1 - beta) + 3beta Rightarrow 4 = 2 - 2beta + 3beta Rightarrow 4 = 2 + beta Rightarrow beta = 2 são L.I., então existe alpha u + beta v = -1(1, 2, 3) + 2(1, 3, 2) = (-1 + 2, -2 + 6, -3 + 4) = (1, 4, 1) e tal que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Agora, verificamos se :
Comparando com , vemos que a terceira coordenada não coincide. Então, a relação não é válida.
Assim, é linearmente independente.

Caso (b):

, ,
Transformando em vetores bidimensionais:
, ,
Como antes, existem e tais que:
Sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Agora, verifica se :
Isso coincide exatamente com .
Então, é linearmente dependente.

Resposta

(a) Os vetores e são linearmente independentes.
(b) Os vetores e são linearmente dependentes.

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