Dados os vetores
e
, escreva
e
. Supondo
e
L.I., existem
tais que
. Prove que
é L.D. se, e somente se,
(com os mesmos
e
). Use esse critério para determinar se os vetores
e
abaixo são L.I. ou L.D.:
(a)
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional:
,
e
. A parada é transformar esses vetores em vetores bidimensionais, tirando a terceira coordenada, ficando assim:
,
e
.
A ideia central aqui é entender quando o conjunto
é linearmente dependente (L.D.) ou independente (L.I.), usando as relações entre os vetores bidimensionais. Para isso, vamos precisar saber sobre combinações lineares e a definição de dependência e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Se houver uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dá zero, então o conjunto é L.D.
No problema, já sabemos que
e
são L.I., o que significa que eles formam uma base para o espaço bidimensional. Isso nos permite expressar qualquer vetor no plano como uma combinação linear desses dois.
Passo 3
Sabendo que
e
são L.I., podemos representar
como uma combinação linear deles. Ou seja, existem números reais
e
tais que:
Isso é possível porque
e
conseguem “alcancar” qualquer vetor no plano bidimensional através de combinações lineares.
Passo 4
Agora, queremos provar que o conjunto
é L.D. se e somente se
, usando os mesmos
e
.
Vamos por partes:
Se
, então
é L.D.
Porque isso significa que
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
, então já temos uma relação de dependência.
Se
é L.D., então
.
Se os três vetores são dependentes, pelo menos um deles pode ser escrito como combinação dos outros dois. Como já temos a relação para os vetores bidimensionais, essa relação se estende para os tridimensionais com os mesmos coeficientes
e
.
Passo 5
Vamos aplicar isso aos casos específicos:
Caso (a):
Primeiro, transformamos em vetores bidimensionais:
,
,
Sabemos que
e
são L.I., então existe
e
tal que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Agora, verificamos se
:
Comparando com
, vemos que a terceira coordenada não coincide. Então, a relação
não é válida.
Assim,
é linearmente independente.
Caso (b):
Transformando em vetores bidimensionais:
,
,
Como antes, existem
e
tais que:
Sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Agora, verifica se
:
Isso coincide exatamente com
.
Então,
é linearmente dependente.
Resposta
(a) Os vetores
e
são linearmente independentes.
(b) Os vetores
e
são linearmente dependentes.
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base?
Nas partes (a)-(m), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
9a) A transposta de uma matriz diagonal é uma matriz diagonal.
9a) A transposta de uma matriz diagonal é uma matriz diagonal.
No espaço
dos polinômios de grau
, verifique se os polinômios abaixo são L.I. ou L.D.:
Obtenha uma base e conseqüentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de
abaixo descritos:
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.