No espaço dos polinômios de grau , verifique se os polinômios abaixo são L.I. ou L.D.:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três polinômios de grau no máximo 3 no espaço , que é o espaço de todos os polinômios com grau menor ou igual a 3. A tarefa é descobrir se esses três polinômios são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações para verificar se só a solução trivial existe.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar cada polinômio em termos dos seus coeficientes, organizando-os de forma que possamos comparar facilmente. Os polinômios dados são:
Podemos escrever cada um deles como um vetor de coeficientes na ordem de , , , constante:
Passo 3
Agora, para verificar se os polinômios são LI ou LD, vamos montar uma combinação linear deles igual a zero e ver se a única solução possível é que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja, queremos encontrar se existem escalares , e tais que:
Substituindo os vetores de coeficientes, temos:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para ver se a única solução é .
Da última equação, temos , o que implica que .
Substituindo na primeira equação: , isso simplifica para , então .
Agora, substituindo e na segunda equação: , o que dá .
Se , então e .
A única solução é , ou seja, a solução trivial.
Resposta
Como a única solução para o sistema é a trivial (), os polinômios , e são Linearmente Independentes (LI) no espaço .