No espaço P3 dos polinômios de grau <= 3, verifique se os polinômios abaixo são L.I. ou L.D.:
& p(x)=x^3-3 x^2+5 x+1 & q(x)=x^3-x^2+6 x+2 & r(x)=x^3-7 x^2+4 x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três polinômios de grau no máximo 3 no espaço P3, que é o espaço de todos os polinômios com grau menor ou igual a 3. A tarefa é descobrir se esses três polinômios são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações para verificar se só a solução trivial existe.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar cada polinômio em termos dos seus coeficientes, organizando-os de forma que possamos comparar facilmente. Os polinômios dados são:
p(x) &= x^3 - 3x^2 + 5x + 1 q(x) &= x^3 - x^2 + 6x + 2 r(x) &= x^3 - 7x^2 + 4x
Podemos escrever cada um deles como um vetor de coeficientes na ordem de x^3, x^2, x, constante:
p(x) &: [1, -3, 5, 1] q(x) &: [1, -1, 6, 2] r(x) &: [1, -7, 4, 0]

Passo 3

Agora, para verificar se os polinômios são LI ou LD, vamos montar uma combinação linear deles igual a zero e ver se a única solução possível é que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja, queremos encontrar se existem escalares a, b e c tais que:
a cdot p(x) + b cdot q(x) + c cdot r(x) = 0
Substituindo os vetores de coeficientes, temos:
a + b + c = 0 & (coeficiente de x^3) -3a - b - 7c = 0 & (coeficiente de x^2) 5a + 6b + 4c = 0 & (coeficiente de x) a + 2b = 0 & (termo constante)

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para ver se a única solução é a = b = c = 0.
  1. Da última equação, temos a + 2b = 0, o que implica que a = -2b.
  2. Substituindo a = -2b na primeira equação: -2b + b + c = 0, isso simplifica para -b + c = 0, então c = b.
  3. Agora, substituindo a = -2b e c = b na segunda equação: -3(-2b) - b - 7b = 0 Rightarrow 6b - b - 7b = 0 Rightarrow -2b = 0, o que dá b = 0.
  4. Se b = 0, então a = -2b = 0 e c = b = 0.
A única solução é a = b = c = 0, ou seja, a solução trivial.

Resposta

Como a única solução para o sistema é a trivial ( a = b = c = 0), os polinômios p(x), q(x) e r(x) são Linearmente Independentes (LI) no espaço P3.

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