No espaço dos polinômios de grau , verifique se os polinômios abaixo são L.I. ou L.D.:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três polinômios de grau no máximo 3 no espaço , que é o espaço de todos os polinômios com grau menor ou igual a 3. A tarefa é descobrir se esses três polinômios são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações para verificar se só a solução trivial existe.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar cada polinômio em termos dos seus coeficientes, organizando-os de forma que possamos comparar facilmente. Os polinômios dados são:
Podemos escrever cada um deles como um vetor de coeficientes na ordem de , , , constante:

Passo 3

Agora, para verificar se os polinômios são LI ou LD, vamos montar uma combinação linear deles igual a zero e ver se a única solução possível é que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja, queremos encontrar se existem escalares , e tais que:
Substituindo os vetores de coeficientes, temos:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para ver se a única solução é .
  1. Da última equação, temos , o que implica que .
  2. Substituindo na primeira equação: , isso simplifica para , então .
  3. Agora, substituindo e na segunda equação: , o que dá .
  4. Se , então e .
A única solução é , ou seja, a solução trivial.

Resposta

Como a única solução para o sistema é a trivial ( ), os polinômios , e são Linearmente Independentes (LI) no espaço .

Exercícios relacionados

Dados os vetores e , escreva e . Supondo e L.I., existem tais que . Prove que é L.D. se, e somente se, (com os mesmos e ). Use esse critério para determinar se os vetores e abaixo são L.I. ou L.D.:
(a)
(b) .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base?
Obtenha uma base e conseqüentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.
Prove que é um conjunto L.I. no espaço . (Sugestão: dada uma combinação linear nula, derive-a, depois divida por e prossiga.)