No espaço dos polinômios de grau , verifique se os polinômios abaixo são L.I. ou L.D.:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três polinômios de grau no máximo 3 no espaço , que é o espaço de todos os polinômios com grau menor ou igual a 3. A tarefa é descobrir se esses três polinômios são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações para verificar se só a solução trivial existe.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar cada polinômio em termos dos seus coeficientes, organizando-os de forma que possamos comparar facilmente. Os polinômios dados são:
Podemos escrever cada um deles como um vetor de coeficientes na ordem de , , , constante:
Passo 3
Agora, para verificar se os polinômios são LI ou LD, vamos montar uma combinação linear deles igual a zero e ver se a única solução possível é que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja, queremos encontrar se existem escalares , e tais que:
Substituindo os vetores de coeficientes, temos:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para ver se a única solução é a = b = c = 0.
Da última equação, temos a + 2b = 0, o que implica que a = -2b.
Substituindo a = -2b na primeira equação: -2b + b + c = 0, isso simplifica para -b + c = 0, então c = b.
Agora, substituindo a = -2b e c = b na segunda equação: -3(-2b) - b - 7b = 0 Rightarrow 6b - b - 7b = 0 Rightarrow -2b = 0, o que dá b = 0.
Se b = 0, então a = -2b = 0 e c = b = 0.
A única solução é a = b = c = 0, ou seja, a solução trivial.
Resposta
Como a única solução para o sistema é a trivial (a = b = c = 0), os polinômios p(x), q(x) e r(x) são Linearmente Independentes (LI) no espaço P3.