Obtenha uma base e conseqüentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de
abaixo descritos:
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que o exercício tá pedindo na letra (a) é para encontrar uma base e a dimensão do conjunto de todas as matrizes
onde a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja, o traço da matriz, é igual a zero. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e matrizes. Para resolver, a gente vai precisar entender como caracterizar esse conjunto de matrizes e depois encontrar uma base para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter o traço igual a zero. O traço de uma matriz
, denotado por
, é a soma dos elementos da diagonal principal:
Queremos que
. Isso impõe uma condição linear sobre os elementos da matriz. Ou seja, se escolhermos livremente todos os elementos de
exceto um na diagonal, o último elemento da diagonal será determinado para que a soma seja zero.
Passo 3
Vamos montar uma base para esse conjunto. Pense que uma matriz
em
tem
elementos. A condição
reduz um grau de liberdade, então esperamos que a dimensão desse subespaço seja
.
Para construir a base, consideramos duas partes:
- Matrizes que têm um único 1 fora da diagonal e zeros nos outros lugares.
- Matrizes que têm 1 em uma posição da diagonal e -1 na última posição da diagonal, para garantir que o traço seja zero.
Por exemplo, para cada
, onde
, temos uma matriz
com 1 na posição
e zeros nas demais posições. Além disso, para a diagonal, para
até
, temos uma matriz
onde
tem 1 na posição
e -1 na posição
, com zeros nas outras posições.
Passo 4
Contando essas matrizes:
- Existem
matrizes (já que ). - Existem
matrizes .
Totalizando
matrizes na base, que confirma que a dimensão do subespaço é
.
Resposta
A base do subespaço é formada pelas matrizes
para
e pelas matrizes
para
, onde
tem 1 na posição
e -1 na posição
. A dimensão desse subespaço é
.