Obtenha uma base e conseqüentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o exercício tá pedindo na letra (a) é para encontrar uma base e a dimensão do conjunto de todas as matrizes onde a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja, o traço da matriz, é igual a zero. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e matrizes. Para resolver, a gente vai precisar entender como caracterizar esse conjunto de matrizes e depois encontrar uma base para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter o traço igual a zero. O traço de uma matriz , denotado por , é a soma dos elementos da diagonal principal:
Queremos que . Isso impõe uma condição linear sobre os elementos da matriz. Ou seja, se escolhermos livremente todos os elementos de exceto um na diagonal, o último elemento da diagonal será determinado para que a soma seja zero.

Passo 3

Vamos montar uma base para esse conjunto. Pense que uma matriz em tem elementos. A condição reduz um grau de liberdade, então esperamos que a dimensão desse subespaço seja .
Para construir a base, consideramos duas partes:
  1. Matrizes que têm um único 1 fora da diagonal e zeros nos outros lugares.
  2. Matrizes que têm 1 em uma posição da diagonal e -1 na última posição da diagonal, para garantir que o traço seja zero.
Por exemplo, para cada , onde , temos uma matriz com 1 na posição e zeros nas demais posições. Além disso, para a diagonal, para até , temos uma matriz onde tem 1 na posição e -1 na posição , com zeros nas outras posições.

Passo 4

Contando essas matrizes:
  • Existem matrizes (já que ).
  • Existem matrizes .
Totalizando matrizes na base, que confirma que a dimensão do subespaço é .

Resposta

A base do subespaço é formada pelas matrizes para e pelas matrizes para , onde tem 1 na posição e -1 na posição . A dimensão desse subespaço é .

Exercícios relacionados

No espaço dos polinômios de grau , verifique se os polinômios abaixo são L.I. ou L.D.:
Dados os vetores e , escreva e . Supondo e L.I., existem tais que . Prove que é L.D. se, e somente se, (com os mesmos e ). Use esse critério para determinar se os vetores e abaixo são L.I. ou L.D.:
(a)
(b) .
Prove que é um conjunto L.I. no espaço . (Sugestão: dada uma combinação linear nula, derive-a, depois divida por e prossiga.)
Sejam subconjuntos L.I. do espaço vetorial .
(a) Se , prove que é L.I. .
(b) Se cada tem elementos, prove que existe um conjunto linearmente independente com para cada .
© Supondo e admitindo as hipóteses dos ítens anteriores, é verdade que seja uma base de ?