Dados os vetores u=i-j e v=2 i+j, determinar o módulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor i :
a) u
b) v
c) u+v
d) u-v
e) v-u

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos dois vetores: u = i - j e v = 2i + j. O que precisamos fazer é calcular o módulo (ou comprimento) e o ângulo que cada um desses vetores forma com o vetor i. Para isso, vamos usar algumas fórmulas de geometria vetorial, como a do módulo de um vetor e a do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Letra a) u
Primeiro, vamos encontrar o módulo de u. O módulo de um vetor a = axi + ayj é dado por:
|a| = raizax^2 + ay^2
Aplicando isso para u = i - j:
|u| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 approx 1,414
Agora, para encontrar o ângulo theta que u forma com i, usamos a fórmula do cosseno:
costheta = u cdot i|u| cdot |i|
Sabemos que i = 1i + 0j, então:
u cdot i = (1)(1) + (-1)(0) = 1
E |i| = 1. Então:
costheta = 1raiz2 cdot 1 = 1raiz2 approx 0,707
Tomando o arco cosseno:
theta = cos^-1(0,707) approx 45^circ

Passo 3

Letra b) v
Vamos seguir os mesmos passos para v = 2i + j.
Primeiro, o módulo:
|v| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5 approx 2,236
Agora, o ângulo com i:
costheta = v cdot i|v| cdot |i|
Calculando o produto escalar:
v cdot i = (2)(1) + (1)(0) = 2
Então:
costheta = 2raiz5 cdot 1 = 2raiz5 approx 0,894
Tomando o arco cosseno:
theta = cos^-1(0,894) approx 26,565^circ

Passo 4

Letra c) u + v
Primeiro, vamos somar os vetores:
u + v = (i - j) + (2i + j) = 3i + 0j
Então, o vetor resultante é w = 3i.
Agora, o módulo de w:
|w| = raiz3^2 + 0^2 = raiz9 = 3
E o ângulo com i. Como w está totalmente na direção de i, o ângulo é:
theta = 0^circ

Passo 5

Letra d) u - v
Primeiro, vamos subtrair os vetores:
u - v = (i - j) - (2i + j) = -i - 2j
Então, o vetor resultante é w = -i - 2j.
Agora, o módulo de w:
|w| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5 approx 2,236
E o ângulo com i:
costheta = w cdot i|w| cdot |i|
Calculando o produto escalar:
w cdot i = (-1)(1) + (-2)(0) = -1
Então:
costheta = -1raiz5 cdot 1 = -1raiz5 approx -0,447
Tomando o arco cosseno:
theta = cos^-1(-0,447) approx 116,565^circ

Passo 6

Letra e) v - u
Primeiro, vamos subtrair os vetores:
v - u = (2i + j) - (i - j) = i + 2j
Então, o vetor resultante é w = i + 2j.
Agora, o módulo de w:
|w| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5 approx 2,236
E o ângulo com i:
costheta = w cdot i|w| cdot |i|
Calculando o produto escalar:
w cdot i = (1)(1) + (2)(0) = 1
Então:
costheta = 1raiz5 cdot 1 = 1raiz5 approx 0,447
Tomando o arco cosseno:
theta = cos^-1(0,447) approx 63,435^circ

Resposta

a) Módulo de u: raiz2 approx 1,414; Ângulo com i: 45^circ
b) Módulo de v: raiz5 approx 2,236; Ângulo com i: 26,565^circ
c) Módulo de u + v: 3; Ângulo com i: 0^circ
d) Módulo de u - v: raiz5 approx 2,236; Ângulo com i: 116,565^circ
e) Módulo de v - u: raiz5 approx 2,236; Ângulo com i: 63,435^circ

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