(1,0 ponto cada) Dada a aplicação T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(2 x-y, 0, y+z)
a) Mostre algebricamente que Té uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a aplicação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares da álgebra linear e verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Verificando a adição:
Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (2(x1 + x2) - (y1 + y2), 0, (y1 + y2) + (z1 + z2)) e = (2x1 + 2x2 - y1 - y2, 0, y1 + y2 + z1 + z2) dois vetores em T(u) = (2x1 - y1, 0, y1 + z1) .
Primeiro, calculamos T(v) = (2x2 - y2, 0, y2 + z2) .
Aplicando T(u) + T(v) = (2x1 - y1 + 2x2 - y2, 0 + 0, y1 + z1 + y2 + z2) a = (2x1 + 2x2 - y1 - y2, 0, y1 + y2 + z1 + z2) :
Simplificando:
Agora, calculamos :
Simplificando:
Observamos que , então a propriedade de adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Seja T(cu) = T(cx, cy, cz) = (2(cx) - cy, 0, cy + cz) um escalar e = (2c x - c y, 0, c y + c z) = c(2x - y, 0, y + z) um vetor em = cT(u) .
Primeiro, calculamos .
Aplicando a :
Simplificando:
Então, , o que confirma que a propriedade de multiplicaç��o por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de multiplicação por escalar, mostramos que é uma transformação linear.

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