(1,0 ponto cada) Dada a aplicação
a) Mostre algebricamente que Té uma transformação linear.
a) Mostre algebricamente que Té uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a aplicação
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares da álgebra linear e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
dada.
Passo 3
Verificando a adição:
Sejam
e
dois vetores em
.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando
a
:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Simplificando:
Observamos que
, então a propriedade de adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Seja
um escalar e
um vetor em
.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando
a
:
Simplificando:
Então,
, o que confirma que a propriedade de multiplicaç��o por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de multiplicação por escalar, mostramos que
é uma transformação linear.