( 2,0 pontos) Aplicações de braços robóticos podem ser vistos na indústria automobilistica e na biorrobótica
2,0
O movimento resultante do braço robótico (rotação, translação e dilatação) é conseguido por meio de programas de computadores que utilizam conceitos de
2
transformações lineares.
Considerando uma transformação de rotação e dilatação no R^2, em um dos eixos do braço robótico, calcule a posição final da extremidade desse eixo, que sofre a seguinte transformação linear: Rotação horária de 120^circ e dilatação em um fator de 2 , posição inicial em (3,5).
(sen 120^circ=raiz32, cos 120^circ=-12)
Boa Provall!!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como braços robóticos usam movimentos como rotação e dilatação, que são tipos de transformações lineares no plano. Precisamos calcular onde a ponta de um braço robótico estará depois de passar por uma rotação de 120° no sentido horário e depois ser ampliado (dilatado) por um fator de 2. A posição inicial da ponta é no ponto (3, 5).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação de rotação. Rotacionar um ponto no plano significa girá-lo em torno da origem por um certo ângulo. Aqui, o ângulo é 120° no sentido horário. Para aplicar essa rotação, usamos a matriz de rotação:
R = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta
Como a rotação é no sentido horário, usamos -120°, mas já que seno é ímpar e cosseno é par, podemos ajustar os sinais:
cos 120° = -12, sin 120° = raiz32
Então, a matriz fica:
R = -12 & raiz32 -raiz32 & -12

Passo 3

Agora, aplicamos a matriz de rotação ao ponto inicial (3, 5). Fazendo a multiplicação:

[
-12 & raiz32 -raiz32 & -12 3 5 = -12 cdot 3 + raiz32 cdot 5 -raiz32 cdot 3 + -12 cdot 5
x' = -32 + 5raiz32 = 5raiz3 - 32

y' = -3raiz32 - 52 = -3raiz3 - 52
]
Calculando cada componente:
Então, após a rotação, a posição é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a dilatação, que é basicamente multiplicar as coordenadas por um fator de 2. Isso significa que cada componente do ponto rotacionado será multiplicado por 2:
x'' = 2 cdot 5raiz3 - 32 = 5raiz3 - 3
y'' = 2 cdot -3raiz3 - 52 = -3raiz3 - 5

Resposta

A posição final da extremidade do eixo é .

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