( 2,0 pontos) Aplicações de braços robóticos podem ser vistos na indústria automobilistica e na biorrobótica
2,0
O movimento resultante do braço robótico (rotação, translação e dilatação) é conseguido por meio de programas de computadores que utilizam conceitos de
2
transformações lineares.
Considerando uma transformação de rotação e dilatação no
, em um dos eixos do braço robótico, calcule a posição final da extremidade desse eixo, que sofre a seguinte transformação linear: Rotação horária de
e dilatação em um fator de 2 , posição inicial em
.
Boa Provall!!
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O movimento resultante do braço robótico (rotação, translação e dilatação) é conseguido por meio de programas de computadores que utilizam conceitos de
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transformações lineares.
Considerando uma transformação de rotação e dilatação no
Boa Provall!!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como braços robóticos usam movimentos como rotação e dilatação, que são tipos de transformações lineares no plano. Precisamos calcular onde a ponta de um braço robótico estará depois de passar por uma rotação de 120° no sentido horário e depois ser ampliado (dilatado) por um fator de 2. A posição inicial da ponta é no ponto (3, 5).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação de rotação. Rotacionar um ponto no plano significa girá-lo em torno da origem por um certo ângulo. Aqui, o ângulo é 120° no sentido horário. Para aplicar essa rotação, usamos a matriz de rotação:
Como a rotação é no sentido horário, usamos -120°, mas já que seno é ímpar e cosseno é par, podemos ajustar os sinais:
Então, a matriz fica:
Passo 3
Agora, aplicamos a matriz de rotação ao ponto inicial (3, 5). Fazendo a multiplicação:
[
]
Calculando cada componente:
Então, após a rotação, a posição é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a dilatação, que é basicamente multiplicar as coordenadas por um fator de 2. Isso significa que cada componente do ponto rotacionado será multiplicado por 2:
Resposta
A posição final da extremidade do eixo é
.