Determinar o ângulo entre os vetores
a) u=(2,-1,-1) e v=(-1,-1,2).
b) u=(1,-2,1) e v=(-1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores. A matéria que vamos usar aqui é o produto escalar dos vetores e a fórmula para achar o ângulo entre eles. Para isso, vamos precisar calcular o produto escalar dos vetores e as magnitudes (ou tamanho) de cada vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o produto escalar. Se tivermos dois vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e , o produto escalar é dado por:

Passo 3

Depois de achar o produto escalar, precisamos calcular as magnitudes dos vetores. A magnitude de um vetor |u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 é:
Fazendo isso para ambos os vetores.

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes em mãos, usamos a fórmula do cosseno do ângulo cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v| entre os vetores:
Depois, aplicamos a função inversa do cosseno (arccos) para encontrar o ângulo .

Passo 5

Vamos aplicar esses passos para cada parte do exercício:

a) u cdot v = 2*(-1) + (-1)*(-1) + (-1)*2 = -2 + 1 - 2 = -3 e |u| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

  1. Produto escalar:
    |v| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
  2. Magnitudes:
    cos(theta) = -3raiz6 cdot raiz6 = -36 = -0.5
    theta = arccos(-0.5) = 120^circ
  3. Cosseno do ângulo:
    u cdot v = 1*(-1) + (-2)*1 + 1*0 = -1 -2 + 0 = -3
  4. Ângulo:
    |u| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

b) |v| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 e cos(theta) = -3raiz6 cdot raiz2 = -3raiz12 = -32raiz3 approx -0.866

  1. Produto escalar:
    theta = arccos(-0.866) approx 150^circ
  2. Magnitudes:
  3. Cosseno do ângulo:
  4. Ângulo:

Resposta

a) O ângulo entre os vetores e é 120 graus.
b) O ângulo entre os vetores e é aproximadamente 150 graus.

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