Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(f)
, então
(f)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
. A proposição que precisamos analisar é:
Vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada
tem um determinante, denotado por
, que é um número real ou complexo associado à matriz. O determinante pode nos dizer várias coisas sobre a matriz, como se ela é invertível.
Passo 3
Agora, vamos considerar a propriedade do determinante em relação à potência de uma matriz. Sabemos que para qualquer matriz quadrada
e qualquer inteiro positivo
:
Isso significa que o determinante da matriz elevada a uma potência é igual ao determinante da matriz original elevado a essa mesma potência.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde
, temos:
Segundo o enunciado, sabemos que
.
Passo 5
Então, substituindo na equação:
Queremos descobrir qual
satisfaz essa equação.
Passo 6
Resolvendo a equação
, buscamos os números que, elevados ao cubo, dão 1. No conjunto dos números reais, a única solução é:
Portanto, se
, necessariamente
também é igual a 1.
Resposta
A proposição é Verdadeira. Se
, então
.