Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n >= 2. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(f) Se det(A^3)=1, então det(A)=1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas matrizes quadradas Se det(A^3) = 1, então det(A) = 1 e de ordem . A proposição que precisamos analisar é:
ã
Vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada tem um determinante, denotado por , que é um número real ou complexo associado à matriz. O determinante pode nos dizer várias coisas sobre a matriz, como se ela é invertível.

Passo 3

Agora, vamos considerar a propriedade do determinante em relação à potência de uma matriz. Sabemos que para qualquer matriz quadrada det(A^k) = (det(A))^k e qualquer inteiro positivo :
Isso significa que o determinante da matriz elevada a uma potência é igual ao determinante da matriz original elevado a essa mesma potência.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde det(A^3) = (det(A))^3 , temos:
Segundo o enunciado, sabemos que .

Passo 5

Então, substituindo na equação:
1 = (det(A))^3
Queremos descobrir qual satisfaz essa equação.

Passo 6

Resolvendo a equação det(A) = 1 , buscamos os números que, elevados ao cubo, dão 1. No conjunto dos números reais, a única solução é:
Portanto, se , necessariamente também é igual a 1.

Resposta

A proposição é Verdadeira. Se , então .

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