Dados os vetores u=-i+2 k, v=2 i+j-k e w=i+2 j+2 k, calcule os seguintes vetores em termos de i, j e k :
© (u times v) times w.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular o vetor utilizando os vetores , e . Vamos precisar usar o produto vetorial e algumas propriedades dele para resolver esse exercício passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 é:
Isso significa que vamos montar uma matriz com os componentes dos vetores e resolver o determinante para encontrar o resultado.

Passo 3

Vamos começar calculando u = -i + 0j + 2k v = 2i + 1j - 1k . Usando os componentes de u times v = i & j & k -1 & 0 & 2 2 & 1 & -1 e i(0 cdot (-1) - 2 cdot 1) - j((-1) cdot (-1) - 2 cdot 2) + k((-1) cdot 1 - 0 cdot 2) = i(0 + (-2)) - j(1 - 4) + k(-1 - 0) = -2i + 3j - k :
Montando a matriz do determinante:
Calculando o determinante:
Portanto, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular (a times b) times c = (a cdot c)b - (b cdot c)a . Para simplificar, vamos usar a propriedade do produto vetorial conhecida como produto misto ou regra do vetor triplo:
Isso facilita bastante o cálculo, pois evita que tenhamos que calcular outro produto vetorial diretamente.

Passo 5

Aplicando a fórmula com u cdot w = (-1)(1) + (0)(2) + (2)(2) = -1 + 0 + 4 = 3 v cdot w = (2)(1) + (1)(2) + (-1)(2) = 2 + 2 - 2 = 2 , (u times v) times w = (u cdot w)v - (v cdot w)u = 3v - 2u e 3v = 3(2i + j - k) = 6i + 3j - 3k 2u = 2(-i + 2k) = -2i + 4k :
Primeiro, calculamos os produtos escalares 6i + 3j - 3k - (-2i + 4k) = 6i + 3j - 3k + 2i - 4k = (6 + 2)i + 3j + (-3 - 4)k = 8i + 3j - 7k e .
Agora, aplicamos na fórmula:
Substituindo os valores de e :
Então:

Resposta

(u times v) times w = 8i + 3j - 7k

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