Dados os vetores
e
, determine um vetor que:
(b) Seja ortogonal a
e
e tem comprimento 2 .
(b) Seja ortogonal a
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem dois vetores no espaço tridimensional:
e
. O que precisamos encontrar é um vetor que seja ortogonal tanto a
quanto ao produto vetorial
, e que tenha comprimento igual a 2. Aqui, a matéria que vamos mexer inclui produto vetorial e condições de ortogonalidade. Vamos precisar usar essas ferramentas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional resulta em um vetor que é ortogonal a ambos os vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Aplicando os valores de
e
:
Então,
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar um vetor
que seja ortogonal a
e a
, e que tenha comprimento 2. Para que
seja ortogonal a outro vetor, o produto escalar entre eles deve ser zero. Assim, temos duas equações:
Além disso, a norma de
deve ser igual a 2:
Vamos montar essas equações com os valores que já temos.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular os produtos escalares:
E a equação da norma:
Agora, temos um sistema de duas equações lineares e uma equação quadrática. Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar
e
em termos de
.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituímos
de volta na expressão para
:
Passo 6
Agora que temos
e
em função de
, vamos substituir essas expressões na equação da norma:
Passo 7
Agora, substituímos
nas expressões de
e
:
Então, os componentes do vetor
ficam:
Resposta
Um vetor que satisfaz as condições é: