Dados os vetores e , determine um vetor que:
(b) Seja ortogonal a e e tem comprimento 2 .
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: e . O que precisamos encontrar é um vetor que seja ortogonal tanto a quanto ao produto vetorial , e que tenha comprimento igual a 2. Aqui, a matéria que vamos mexer inclui produto vetorial e condições de ortogonalidade. Vamos precisar usar essas ferramentas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional resulta em um vetor que é ortogonal a ambos os vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Aplicando os valores de e :
Então, .
Passo 3
Agora, queremos encontrar um vetor que seja ortogonal a e a , e que tenha comprimento 2. Para que seja ortogonal a outro vetor, o produto escalar entre eles deve ser zero. Assim, temos duas equações:
Além disso, a norma de deve ser igual a 2:
Vamos montar essas equações com os valores que já temos.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular os produtos escalares:
E a equação da norma:
Agora, temos um sistema de duas equações lineares e uma equação quadrática. Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar e em termos de .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos de volta na expressão para :
Passo 6
Agora que temos e em função de , vamos substituir essas expressões na equação da norma: