Dados os vetores u=(-2,3,1) e v=(2,-1,4), determine um vetor que:
(b) Seja ortogonal a u e u times v e tem comprimento 2 .

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: u=(-2,3,1) e v=(2,-1,4). O que precisamos encontrar é um vetor que seja ortogonal tanto a u quanto ao produto vetorial u times v, e que tenha comprimento igual a 2. Aqui, a matéria que vamos mexer inclui produto vetorial e condições de ortogonalidade. Vamos precisar usar essas ferramentas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v. O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional resulta em um vetor que é ortogonal a ambos os vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
u times v = ( u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1 )
Aplicando os valores de u e v:
u times v = (3 times 4 - 1 times (-1), 1 times 2 - (-2) times 4, (-2) times (-1) - 3 times 2)
u times v = (12 + 1, 2 + 8, 2 - 6) = (13, 10, -4)
Então, u times v = (13, 10, -4).

Passo 3

Agora, queremos encontrar um vetor w = (w1, w2, w3) que seja ortogonal a u e a u times v, e que tenha comprimento 2. Para que w seja ortogonal a outro vetor, o produto escalar entre eles deve ser zero. Assim, temos duas equações:
  1. w cdot u = 0
  2. w cdot (u times v) = 0
Além disso, a norma de w deve ser igual a 2:
||w|| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 = 2 Rightarrow w1^2 + w2^2 + w3^2 = 4
Vamos montar essas equações com os valores que já temos.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular os produtos escalares:
  1. w cdot u = (-2)w1 + 3w2 + 1w3 = 0
  2. w cdot (u times v) = 13w1 + 10w2 - 4w3 = 0
E a equação da norma:
w1^2 + w2^2 + w3^2 = 4
Agora, temos um sistema de duas equações lineares e uma equação quadrática. Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar w1 e w3 em termos de w2.
Da primeira equação:
-2w1 + 3w2 + w3 = 0 Rightarrow w3 = 2w1 - 3w2
Substituindo w3 na segunda equação:
13w1 + 10w2 - 4(2w1 - 3w2) = 0
13w1 + 10w2 - 8w1 + 12w2 = 0
5w1 + 22w2 = 0 Rightarrow w1 = -225w2
Agora, substituímos w1 de volta na expressão para w3:
w3 = 2(-225w2) - 3w2 = -445w2 - 3w2 = -595w2

Passo 6

Agora que temos w1 e w3 em função de w2, vamos substituir essas expressões na equação da norma:
w1^2 + w2^2 + w3^2 = 4
(-225w2)^2 + w2^2 + (-595w2)^2 = 4
48425w2^2 + w2^2 + 348125w2^2 = 4
(484 + 25 + 348125)w2^2 = 4
399025w2^2 = 4 Rightarrow w2^2 = 4 times 253990 = 1003990 = 10399
w2 = pm raiz10399 = pm raiz3990399

Passo 7

Agora, substituímos w2 nas expressões de w1 e w3:
w1 = -225w2 = -225 times raiz3990399 = -22raiz39901995
w3 = -595w2 = -595 times raiz3990399 = -59raiz39901995
Então, os componentes do vetor w ficam:
w = ( -22raiz39901995, raiz3990399, -59raiz39901995 )

Resposta

Um vetor que satisfaz as condições é:
w = ( -22,raiz39901995, raiz3990399, -59,raiz39901995 )

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Determine se a afirmação é VERDADEIRA ou FALSA.
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NÃO pode ter uma única solução, independentemente do valor de k.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Suponha que
det([lll a & b & c d & e & f g & h & i ])=-2
Calcule o determinante das seguintes matrizes
(b)
[ccc 3 a & 3 b & 3 c d / 2 & e / 2 & f / 2 -g & -h & -i ]
Dados os vetores u=-i+2 k, v=2 i+j-k e w=i+2 j+2 k, calcule os seguintes vetores em termos de i, j e k :
© (u times v) times w.
Sabendo que (u, v, w)=-3, determine
© (3 w+2 v, v,-2 u).