Dados os vetores u=-i+2 k, v=2 i+j-k e w=i+2 j+2 k, calcule os seguintes vetores em termos de i, j e k :
(b) u times(v times w).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o vetor u times (v times w). Aqui, estamos trabalhando com produto vetorial, que é uma operação entre dois vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades do produto vetorial e das componentes dos vetores fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores envolvidos:
u = -i + 2k, v = 2i + j - k, w = i + 2j + 2k

Passo 3

Nosso objetivo é calcular v times w primeiro. O produto vetorial entre dois vetores a = axi + ayj + azk e b = bxi + byj + bzk é dado por:
a times b = (ay bz - az by)i - (ax bz - az bx)j + (ax by - ay bx)k

Passo 4

Aplicando essa fórmula para v times w:
v times w = (1 cdot 2 - (-1) cdot 2)i - (2 cdot 2 - (-1) cdot 1)j + (2 cdot 2 - 1 cdot 1)k
Calculando cada componente:
v times w = (2 + 2)i - (4 + 1)j + (4 - 1)k = 4i - 5j + 3k

Passo 5

Agora, precisamos calcular u times (v times w), ou seja, u times A onde A = 4i - 5j + 3k. Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
u times A = (0 cdot 3 - 2 cdot (-5))i - (-1 cdot 3 - 2 cdot 4)j + (-1 cdot (-5) - 0 cdot 4)k
Aqui, note que u = -i + 0j + 2k, então os componentes ay = 0 e ax = -1.
Calculando cada componente:
u times A = (0 + 10)i - (-3 - 8)j + (5 - 0)k = 10i + 11j + 5k

Resposta

u times (v times w) = 10i + 11j + 5k

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