Suponha que os vetores e são L.I. no espaço. Determine se cada uma das seguintes afirmações é falsa ou verdadeira.
(b) e são L.I. no espaço.
Passo 1
Vamos lá! A questão nos dá dois vetores, e , que são linearmente independentes no espaço. Nosso objetivo é verificar se os três vetores , e também são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como o produto vetorial () funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a independência linear. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles pode resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja, se tivermos , isso só acontece quando .
Passo 3
Vamos expandir a equação:
Distribuindo os coeficientes:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Sabemos que , e são vetores mutuamente ortogonais e, além disso, e são linearmente independentes. Portanto, para que a combinação linear seja igual a zero, cada coeficiente deve ser zero:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
b + b = 0 Rightarrow 2b = 0 Rightarrow b = 0 →
→
Substituindo na segunda equação:
Agora, usando a terceira equação :
Então, e .
Passo 7
Encontramos que a única solução é . Isso significa que os vetores , e são linearmente independentes, já que a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero.
Resposta
Verdadeiro. Os vetores , e são linearmente independentes no espaço.