Suponha que os vetores u e v são L.I. no espaço. Determine se cada uma das seguintes afirmações é falsa ou verdadeira.
(b) u+v, u+(u times v) e v+(u times v) são L.I. no espaço.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos dá dois vetores, e , que são linearmente independentes no espaço. Nosso objetivo é verificar se os três vetores , e também são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como o produto vetorial ( ) funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a independência linear. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles pode resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja, se tivermos , isso só acontece quando .

Passo 3

Vamos expandir a equação:
a(u+v) + b(u+(u times v)) + c(v+(u times v)) = 0
Distribuindo os coeficientes:
au + av + bu + b(u times v) + cv + c(u times v) = 0

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + b)u + (a + c)v + (b + c)(u times v) = 0

Passo 5

Sabemos que a + b = 0 a + c = 0 b + c = 0 , e são vetores mutuamente ortogonais e, além disso, e são linearmente independentes. Portanto, para que a combinação linear seja igual a zero, cada coeficiente deve ser zero:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. b + b = 0 Rightarrow 2b = 0 Rightarrow b = 0
  2. Substituindo na segunda equação:
Agora, usando a terceira equação :
Então, e .

Passo 7

Encontramos que a única solução é . Isso significa que os vetores , e são linearmente independentes, já que a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero.

Resposta

Verdadeiro. Os vetores , e são linearmente independentes no espaço.

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