Determine o cosseno do ângulo entre as seguintes retas
(a) r1:lx=2 z=1 e r2: x-23=y+12=z-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar usar vetores diretores das retas e a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta r1: x = 2 z = 1 é dada por:
r1: x = 2 y = t z = 1
Como não temos uma equação para 0 1 0 , isso significa que pode variar livremente. Podemos reescrever em forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro. O vetor diretor de é, então, .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta r2: x-23 = y+12 = z-3 :
r2: x = 2 + 3t y = -1 + 2t z = -3t
Essa é a forma simétrica da equação da reta. Podemos escrever em forma paramétrica:
3 2 -3
O vetor diretor de é .

Passo 4

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo cos theta = v1 cdot v2 |v1| cdot |v2| entre eles:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar v1 cdot v2 = (0)(3) + (1)(2) + (0)(-3) = 0 + 2 + 0 = 2 :

Passo 6

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
|v1| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz0 + 1 + 0 = 1
|v2| = raiz3^2 + 2^2 + (-3)^2 = raiz9 + 4 + 9 = raiz22

Passo 7

Com esses valores, substituímos na fórmula do cosseno:
cos theta = 21 cdot raiz22 = 2raiz22

Resposta

O cosseno do ângulo entre as retas e é .

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