Sabendo que (u, v, w)=-3, determine
(d) lang<=-v times 4 u, w+3 urang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de lang<= -v times 4 u, w + 3 u rang<=, sabendo que o produto misto (u, v, w) é igual a -3. Aqui, estamos trabalhando com produtos vetoriais e escalares, então vamos precisar lembrar das propriedades desses produtos para resolver o problema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão -v times 4 u. Lembre-se que o produto vetorial tem a propriedade de ser distributivo em relação à multiplicação por escalar, o que significa que podemos fatorar os escalares para fora do produto vetorial.

Passo 3

Aplicando essa propriedade, temos:
-v times 4 u = -4 (v times u)
Além disso, sabemos que a ordem dos vetores no produto vetorial importa: a times b = - (b times a). Então,
-4 (v times u) = -4 (-u times v) = 4 u times v

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar lang<= 4 u times v, w + 3 u rang<=. Distribuindo o produto escalar, temos:
lang<= 4 u times v, w rang<= + lang<= 4 u times v, 3 u rang<=
Sabemos que o produto escalar de um vetor com um múltiplo escalar é o múltiplo pelo produto escalar:
4 lang<= u times v, w rang<= + 12 lang<= u times v, u rang<=

Passo 5

Agora, vamos analisar cada termo:
  1. lang<= u times v, w rang<= é o produto misto (u, v, w), que sabemos que é -3.
  2. lang<= u times v, u rang<= é igual a zero, porque o produto vetorial u times v é perpendicular a u.
Então, substituindo:
4 (-3) + 12 (0) = -12 + 0 = -12

Resposta

O valor de lang<= -v times 4 u, w + 3 u rang<= é -12.

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