Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes planos
© pi1:lx=1+2 t+s y=3-2 t z=2+t+2 s
e pi2: x-4+4 z+2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar o cosseno do ângulo entre dois planos, chamados de pi1 e pi2. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os vetores normais de cada plano e depois usar a fórmula do cosseno do ângulo entre esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos planos. O plano pi1 está dado em forma paramétrica:
pi1: x = 1 + 2t + s y = 3 - 2t z = 2 + t + 2s
E o plano pi2 está dado em forma implícita:
pi2: x - 4 + 4z + 2 = 0
Vamos converter a equação de pi2 para a forma mais simples:
x + 4z - 2 = 0

Passo 3

Para encontrar o vetor normal de um plano, precisamos que o plano esteja na forma Ax + By + Cz + D = 0, onde o vetor normal é (A, B, C).
Para pi2, já temos:
pi2: x + 4z - 2 = 0
Portanto, o vetor normal de pi2 é:
n2 = (1, 0, 4)

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano pi1. Como pi1 está em forma paramétrica, precisamos extrair os vetores diretores e depois encontrar o vetor normal através do produto vetorial.
A equação paramétrica de pi1 pode ser escrita como:
r = r0 + tu + sv
onde:
r0 = (1, 3, 2) u = (2, -2, 1) v = (1, 0, 2)

Passo 5

O vetor normal n1 pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores diretores u e v:
n1 = u times v
Vamos calcular:
n1 = i & j & k 2 & -2 & 1 1 & 0 & 2
= i cdot (-2 cdot 2 - 1 cdot 0) - j cdot (2 cdot 2 - 1 cdot 1) + k cdot (2 cdot 0 - (-2) cdot 1)
= i cdot (-4) - j cdot (4 - 1) + k cdot (0 + 2)
= -4i - 3j + 2k
Portanto,
n1 = (-4, -3, 2)

Passo 6

Agora que temos os vetores normais dos dois planos:
n1 = (-4, -3, 2) n2 = (1, 0, 4)
Vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo theta entre eles:
cos theta = n1 cdot n2|n1| |n2|
Onde:
  • n1 cdot n2 é o produto escalar dos vetores.
  • |n1| e |n2| são as normas (módulos) dos vetores.

Passo 7

Primeiro, vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2:
n1 cdot n2 = (-4)(1) + (-3)(0) + (2)(4) = -4 + 0 + 8 = 4

Passo 8

Agora, calculamos as normas dos vetores:
|n1| = raiz(-4)^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz16 + 9 + 4 = raiz29
|n2| = raiz1^2 + 0^2 + 4^2 = raiz1 + 0 + 16 = raiz17

Passo 9

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 4raiz29 cdot raiz17 = 4raiz493
Se preferir, podemos racionalizar o denominador:
raiz493 approx 22.205
Então,
cos theta approx 422.205 approx 0.180

Resposta

O cosseno do ângulo entre os planos pi1 e pi2 é aproximadamente 0.180.

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