Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar o cosseno do ângulo entre dois planos, chamados de pi1 e pi2. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os vetores normais de cada plano e depois usar a fórmula do cosseno do ângulo entre esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações dos planos. O plano pi1 está dado em forma paramétrica:
pi1: x = 1 + 2t + s y = 3 - 2t z = 2 + t + 2s
E o plano pi2 está dado em forma implícita:
pi2: x - 4 + 4z + 2 = 0
Vamos converter a equação de pi2 para a forma mais simples:
x + 4z - 2 = 0
Passo 3
Para encontrar o vetor normal de um plano, precisamos que o plano esteja na forma Ax + By + Cz + D = 0, onde o vetor normal é (A, B, C).
Para pi2, já temos:
pi2: x + 4z - 2 = 0
Portanto, o vetor normal de pi2 é:
n2 = (1, 0, 4)
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano pi1. Como pi1 está em forma paramétrica, precisamos extrair os vetores diretores e depois encontrar o vetor normal através do produto vetorial.
A equação paramétrica de pi1 pode ser escrita como:
r = r0 + tu + sv
onde:
r0 = (1, 3, 2) u = (2, -2, 1) v = (1, 0, 2)
Passo 5
O vetor normal n1 pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores diretores u e v: