Dados os vetores u=2 i+j-k, v=-i+2 k e w=2 j-3 k, verifique que eles determinan um paralelepíedo e calcule o seu volume.

R= SIM

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores: u = 2i + j - k, v = -i + 2k e w = 2j - 3k. O exercício pede pra gente verificar se esses vetores determinam um paralelepípedo e, se sim, calcular o volume dele. Para isso, vamos usar noções de vetores e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, pra ver se os vetores formam um paralelepípedo, a gente precisa checar se eles são vetores que partem de um mesmo ponto e se não estão todos no mesmo plano (ou seja, não são coplanares). Uma maneira de fazer isso é calcular o produto misto dos três vetores. Se o produto misto for diferente de zero, os vetores não são coplanares e, portanto, formam um paralelepípedo.

Passo 3

O produto misto é dado por u cdot (v times w). Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times w.
Calculando v times w:
v = -1 0 2 , w = 0 2 -3
v times w = i & j & k -1 & 0 & 2 0 & 2 & -3 = i(0 cdot (-3) - 2 cdot 2) - j((-1) cdot (-3) - 2 cdot 0) + k((-1) cdot 2 - 0 cdot 0)
= i(0 + (-4)) - j(3 - 0) + k(-2 - 0)
= -4i - 3j - 2k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar da u com o resultado que obtivemos:
u = 2 1 -1 , v times w = -4 -3 -2
u cdot (v times w) = 2 cdot (-4) + 1 cdot (-3) + (-1) cdot (-2) = -8 -3 +2 = -9

Resposta

Como o produto misto é -9, que é diferente de zero, os vetores determinam um paralelepípedo. O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto misto, ou seja, | -9 | = 9. Portanto, o volume é 9 unidades cúbicas.

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