Seja a matriz A=(llllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 0 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 0 & 0 & 3 & 4 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 4 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 7). Determine:
c) det(B), Sabendo que B é uma matriz inversível e que 5 B^2=3 A B

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de e precisamos determinar o determinante de outra matriz , sabendo que é inversível e que . Vamos precisar usar propriedades de determinantes e algumas manobras com matrizes para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar com a equação que relaciona 5 B^2 = 3 A B e 5 B^2 cdot B^-1 = 3 A B cdot B^-1 :
5 B = 3 A
Como é inversível, podemos multiplicar ambos os lados da equação por (a matriz inversa de ) para simplificar:
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, isolamos B = 35 A :
Isso nos mostra que é uma constante multiplicando a matriz . Agora, precisamos encontrar o determinante de .

Passo 4

Sabemos que o determinante de um produto de uma constante det(k A) = k^n det(A) e uma matriz det(B) = (35)^6 det(A) de tamanho é dado por:
No nosso caso, e (já que é ). Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de det(A) = 1 times 2 times 3 times 4 times 5 times 7 = 840 . Observamos que é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Uma propriedade importante é que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Então:

Passo 6

Substituindo det(B) = (35)^6 times 840 na expressão de (35)^6 = 3^65^6 = 72915625 :
det(B) = 72915625 times 840 = 61236015625 approx 39,1904
Vamos calcular :
Então:

Resposta

O determinante de é ou aproximadamente .

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