Seja a matriz A=(llllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 0 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 0 & 0 & 3 & 4 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 4 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 7). Determine:
b) det((-1) A^-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem uma matriz A, que é uma matriz quadrada de ordem 6. O que a gente precisa encontrar é o determinante de (-1) A^-1. Para fazer isso, vamos usar conceitos de determinantes e matrizes inversas. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A, ou seja, det(A). A matriz A é uma matriz triangular superior, o que significa que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma propriedade bem útil das matrizes triangulares é que o determinante delas é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, olhando para a diagonal principal da matriz A:
A = 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 0 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 0 & 0 & 3 & 4 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 4 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 7
Os elementos da diagonal principal são: 1, 2, 3, 4, 5, 7.
Então,
det(A) = 1 times 2 times 3 times 4 times 5 times 7 = 840

Passo 3

Agora, vamos encontrar o determinante da inversa de A, que é det(A^-1). Há uma propriedade importante que nos diz que o determinante da inversa de uma matriz é o inverso do determinante da matriz original. Matemáticamente,
det(A^-1) = 1det(A)
Já sabemos que det(A) = 840, então:
det(A^-1) = 1840

Passo 4

Agora, queremos encontrar o determinante de (-1) A^-1, ou seja, det( (-1) A^-1 ). Para isso, usamos a propriedade do determinante que envolve a multiplicação de uma matriz por um escalar. Se a gente multiplica uma matriz por um escalar k, o determinante resultante é k^n vezes o determinante da matriz original, onde n é a ordem da matriz.
No nosso caso, A^-1 é uma matriz 6x6 e o escalar é -1. Então,
det( (-1) A^-1 ) = (-1)^6 times det(A^-1)
Calculando:
(-1)^6 = 1
E já sabemos que det(A^-1) = 1840. Então,
det( (-1) A^-1 ) = 1 times 1840 = 1840

Resposta

dfrac1840

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