Mostre que, dados qualquer vetores
, com
, vale que
, para qualquer
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dado qualquer vetor
diferente de zero e outro vetor
, a projeção de
sobre
é igual a
vezes a projeção de
sobre
. Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar entender o que é projeção de um vetor sobre outro e usar algumas propriedades de operações vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor
sobre outro vetor
. A projeção, indicada por
, é basicamente o “componente” de
que está na direção de
. A fórmula para calcular essa projeção é:
Aqui,
Passo 3
Agora, vamos calcular a projeção de
sobre
usando a mesma fórmula:
Sabemos que o produto escalar é distributivo em relação à multiplicação por escalar, então
Passo 4
Observando a expressão acima, podemos reescrever o fator
fora da fração:
E isso é exatamente igual a:
Pois, lembrando a definição da projeção:
Resposta
Portanto, mostramos que: