Mostre que, dados qualquer vetores u e v, com u neq 0, vale que proju a v=a proju v, para qualquer a in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dado qualquer vetor u diferente de zero e outro vetor v, a projeção de av sobre u é igual a a vezes a projeção de v sobre u. Ou seja, queremos provar que:
proju (a v) = a proju v
Para isso, vamos precisar entender o que é projeção de um vetor sobre outro e usar algumas propriedades de operações vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor v sobre outro vetor u. A projeção, indicada por proju v, é basicamente o “componente” de v que está na direção de u. A fórmula para calcular essa projeção é:
proju v = ( u cdot vu cdot u ) u
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores u e v.

Passo 3

Agora, vamos calcular a projeção de av sobre u usando a mesma fórmula:
proju (a v) = ( u cdot (a v)u cdot u ) u
Sabemos que o produto escalar é distributivo em relação à multiplicação por escalar, então u cdot (a v) = a (u cdot v). Substituindo isso na expressão, temos:
proju (a v) = ( a (u cdot v)u cdot u ) u

Passo 4

Observando a expressão acima, podemos reescrever o fator a fora da fração:
proju (a v) = a ( u cdot vu cdot u ) u
E isso é exatamente igual a:
a proju v
Pois, lembrando a definição da projeção:
proju v = ( u cdot vu cdot u ) u

Resposta

Portanto, mostramos que:
proju (a v) = a proju v

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