Se u+v+w=0,|u|=32,|v|=12 e |w|=2, calcule u cdot v+v cdot w+w cdot u R=-134

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores, , e , que somados dão o vetor zero: . Também sabemos as magnitudes desses vetores:
O que precisamos encontrar é a soma dos produtos escalares entre eles: . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e propriedades do produto escalar para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores pode ser expandido usando a fórmula:
|a + b|^2 = |a|^2 + 2,a cdot b + |b|^2
No nosso caso, temos três vetores somando para zero. Vamos reorganizar a equação inicial para isolar um dos vetores. Vamos isolar w = -(u + v) :

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude ao quadrado de ambos os lados dessa igualdade:
|w|^2 = | -(u + v) |^2
Sabendo que a magnitude de um vetor e a de seu oposto são iguais, temos:
|w|^2 = |u + v|^2

Passo 4

Vamos expandir o lado direito usando a fórmula do produto escalar que mencionei:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2,u cdot v + |v|^2
Portanto:
|w|^2 = |u|^2 + 2,u cdot v + |v|^2

Passo 5

Sabemos os valores das magnitudes:
|u| = 32 Rightarrow |u|^2 = (32)^2 = 94
|v| = 12 Rightarrow |v|^2 = (12)^2 = 14
|w| = 2 Rightarrow |w|^2 = (2)^2 = 4

Passo 6

Substituindo esses valores na equação anterior:
4 = 94 + 2,u cdot v + 14
Vamos somar 4 = 104 + 2,u cdot v e :

Passo 7

Simplificando 4 = 52 + 2,u cdot v para 4 - 52 = 2,u cdot v :
82 - 52 = 2,u cdot v Rightarrow 32 = 2,u cdot v
Agora, subtraindo de ambos os lados:
Convertendo 4 para ter o mesmo denominador:

Passo 8

Dividindo ambos os lados por 2 para encontrar u cdot v = 34 :

Passo 9

Agora, vamos calcular a soma v cdot w = v cdot (-u - v) = -v cdot u - v cdot v . Sabemos que w cdot u = (-u - v) cdot u = -u cdot u - v cdot u , então podemos substituir:

Passo 10

Substituindo esses valores na soma:
u cdot v + v cdot w + w cdot u = u cdot v + (-v cdot u - v cdot v) + (-u cdot u - v cdot u)
Simplificando:
= u cdot v - v cdot u - v cdot v - u cdot u - v cdot u
= -u cdot u - v cdot v - v cdot u

Passo 11

Sabendo que = -|u|^2 - |v|^2 - u cdot v e = -94 - 14 - 34 , substituímos:

Passo 12

Somando esses valores:
= -94 - 14 - 34 = -134

Resposta

u cdot v + v cdot w + w cdot u = -134

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