Se
e
, calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores,
,
e
, que somados dão o vetor zero:
. Também sabemos as magnitudes desses vetores:
O que precisamos encontrar é a soma dos produtos escalares entre eles:
. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e propriedades do produto escalar para chegar nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores pode ser expandido usando a fórmula:
No nosso caso, temos três vetores somando para zero. Vamos reorganizar a equação inicial para isolar um dos vetores. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude ao quadrado de ambos os lados dessa igualdade:
Sabendo que a magnitude de um vetor e a de seu oposto são iguais, temos:
Passo 4
Vamos expandir o lado direito usando a fórmula do produto escalar que mencionei:
Portanto:
Passo 5
Sabemos os valores das magnitudes:
Passo 6
Substituindo esses valores na equação anterior:
Vamos somar
e
:
Passo 7
Simplificando
para
:
Agora, subtraindo
de ambos os lados:
Convertendo 4 para ter o mesmo denominador:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por 2 para encontrar
:
Passo 9
Agora, vamos calcular a soma
. Sabemos que
, então podemos substituir:
Passo 10
Substituindo esses valores na soma:
Simplificando:
Passo 11
Sabendo que
e
, substituímos:
Passo 12
Somando esses valores:
Resposta
Exercícios relacionados
Determinar um vetor unitário ortogonal aos vetores
e
. (usando o produto escalar e o vetorial)
Dados os vetores
determinar
e
sabendo que
e que o vetor
forma ângulos iguais com os eixos coordenados Ox e Oy .
Verifique se o conjunto de vetores
, é uma base ortonormal. Sendo
,
e
Verifique se a base
onde:
é ORTONOMAL.