Determinar um vetor unitário ortogonal aos vetores 3 doti+j e 4 doti-j+3 k. (usando o produto escalar e o vetorial)

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e . Para isso, vamos usar dois conceitos da matéria de álgebra vetorial: o produto escalar (para garantir a ortogonalidade) e o produto vetorial (para encontrar um vetor perpendicular a ambos). No final, vamos precisar transformar esse vetor em um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que um vetor é ortogonal a outros dois vetores. Se um vetor u cdot v1 = 0 e u cdot v2 = 0 é ortogonal a e , então:
Isso nos dá duas equações para resolver.

Passo 3

No entanto, uma forma mais simples de encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos v1 = 3 1 0 , v2 = 4 -1 3 e v1 times v2 = i & j & k 3 & 1 & 0 4 & -1 & 3 é usando o produto vetorial. O produto vetorial = i(1 cdot 3 - 0 cdot (-1)) - j(3 cdot 3 - 0 cdot 4) + k(3 cdot (-1) - 1 cdot 4) resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores iniciais.
Vamos calcular = 3i - 9j -7k :
Então, o vetor é ortogonal a e .

Passo 4

Agora, precisamos transformar esse vetor |w| = raiz3^2 + (-9)^2 + (-7)^2 = raiz9 + 81 + 49 = raiz139 em um vetor unitário, ou seja, um vetor com magnitude igual a 1. Para isso, vamos calcular a norma de u = w|w| = 3i - 9j -7kraiz139 :
Então, o vetor unitário é:

Resposta

Um vetor unitário ortogonal aos vetores dados é:
u = 3i - 9j -7kraiz139

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