Dados os vetores u=(3,-1,2) e v=(-2,2,1),
(b) determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u = (3, -1, 2) e v = (-2, 2, 1). A pergunta é para encontrar um vetor unitário que seja ortogonal, ou seja, perpendicular, tanto a u quanto a v. Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial e a normalização de vetores.

Passo 2

Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos u e v, usamos o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula do produto vetorial para u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é:
u times v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial de u e v:
u times v = ((-1)(1) - (2)(2), (2)(-2) - (3)(1), (3)(2) - (-1)(-2))
u times v = (-1 - 4, -4 - 3, 6 - 2)
u times v = (-5, -7, 4)
Então, o vetor perpendicular é w = (-5, -7, 4).

Passo 4

Agora, precisamos transformar esse vetor perpendicular em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos o módulo do vetor w e depois dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo.
O módulo de w é dado por:
|w| = raiz(-5)^2 + (-7)^2 + 4^2 = raiz25 + 49 + 16 = raiz90 = 3raiz10

Passo 5

Finalmente, dividimos cada componente de w pelo seu módulo para obter o vetor unitário uunitárioá:
uunitário = ( -53raiz10, -73raiz10, 43raiz10 ) á
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz10:
uunitário = ( -5raiz1030, -7raiz1030, 4raiz1030 ) = ( -raiz106, -7raiz1030, 2raiz1015 ) á

Resposta

O vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e v é:
uunitário = ( -raiz106, -7raiz1030, 2raiz1015 ) á

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