Quando três vetores são linearmente independentes? Dê um exemplo gráfico (desenhe!) de três vetores linearmente dependentes em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta quando três vetores são linearmente independentes e também pede um exemplo gráfico de três vetores linearmente dependentes em R^3. Vamos trabalhar com álgebra linear, especificamente com o conceito de independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes ou dependentes e como identificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é independência linear. Três vetores v1, v2, e v3 em R^3 são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos:
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0
só tem a solução c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 3

Para verificar se três vetores são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são dependentes.
Por exemplo, considere a matriz:
A = v1x & v2x & v3x v1y & v2y & v3y v1z & v2z & v3z
Se det(A) neq 0, então v1, v2, e v3 são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos pensar em um exemplo gráfico de três vetores linearmente dependentes em R^3. Já que não posso desenhar aqui, vou descrever como seria:
Imagine três vetores onde o terceiro vetor é uma combinação dos outros dois. Por exemplo, se temos v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (1, 1, 0). Aqui, v3 = v1 + v2, então os três vetores estão no mesmo plano e são linearmente dependentes.

Resposta

Três vetores são linearmente independentes em R^3 quando o único modo de combiná-los para obter o vetor zero é com todos os coeficientes iguais a zero, o que acontece se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero. Um exemplo gráfico de três vetores linearmente dependentes em R^3 seria três vetores que estão no mesmo plano, como v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (1, 1, 0), onde v3 é a soma de v1 e v2.

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