Quando dois vetores são linearmente independentes? Dê um exemplo gráfico (desenhe!) de dois vetores linearmente independentes em
.
Passo 1
O exercício pede para entender quando dois vetores são linearmente independentes e para mostrar um exemplo gráfico disso em
. Vamos precisar saber o que significa vetores serem linearmente independentes e como representá-los visualmente no plano.
Passo 2
Dois vetores são chamados de linearmente independentes se nenhum deles puder ser obtido multiplicando o outro por um número real. Em outras palavras, eles não estão na mesma direção ou em direções opostas.
Passo 3
Para visualizar isso em
, imagine o plano cartesiano. Se você desenhar dois vetores que apontam em direções diferentes e não estão alinhados, eles são linearmente independentes. Isso porque não há um múltiplo de um vetor que possa gerar o outro.
Passo 4
Vamos a um exemplo concreto: considere os vetores
e
. Para verificar se são linearmente independentes, tentamos ver se existe um número
tal que
.
Passo 5
Resolvendo a igualdade:
Da primeira equação,
. Da segunda,
. Como não existe um único
que satisfaça ambas as equações, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Dois vetores são linearmente independentes quando não são múltiplos um do outro. Por exemplo, os vetores
e
são linearmente independentes em
. Graficamente, eles podem ser representados no plano cartesiano como vetores que não estão alinhados, formando um ângulo entre si.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
:
(b) determinar o vetor tal que
.
(b) determinar o vetor
Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Dados os pontos
e
:
(a) encontrar o vértice oposto a , no paralelogramo
,
(a) encontrar o vértice oposto a
Dados os vetores
e
,
(b) determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal a .
(b) determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal a