Quando dois vetores são linearmente independentes? Dê um exemplo gráfico (desenhe!) de dois vetores linearmente independentes em R^2.

Passo 1

O exercício pede para entender quando dois vetores são linearmente independentes e para mostrar um exemplo gráfico disso em R^2. Vamos precisar saber o que significa vetores serem linearmente independentes e como representá-los visualmente no plano.

Passo 2

Dois vetores são chamados de linearmente independentes se nenhum deles puder ser obtido multiplicando o outro por um número real. Em outras palavras, eles não estão na mesma direção ou em direções opostas.

Passo 3

Para visualizar isso em R^2, imagine o plano cartesiano. Se você desenhar dois vetores que apontam em direções diferentes e não estão alinhados, eles são linearmente independentes. Isso porque não há um múltiplo de um vetor que possa gerar o outro.

Passo 4

Vamos a um exemplo concreto: considere os vetores u = (1, 2) e v = (3, 4). Para verificar se são linearmente independentes, tentamos ver se existe um número k tal que u = k cdot v.

Passo 5

Resolvendo a igualdade:
(1, 2) = k cdot (3, 4) implies 1 = 3k e 2 = 4k
Da primeira equação, k = 13. Da segunda, k = 12. Como não existe um único k que satisfaça ambas as equações, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Dois vetores são linearmente independentes quando não são múltiplos um do outro. Por exemplo, os vetores u = (1, 2) e v = (3, 4) são linearmente independentes em R^2. Graficamente, eles podem ser representados no plano cartesiano como vetores que não estão alinhados, formando um ângulo entre si.

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Dados os vetores u=(3,-1,2) e v=(-2,2,1),
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