Obter uma equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Esboçar o gráfico. Vértices A1(-6,0), A2(6,0) e passa pelo ponto P(2,2 raiz2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar a equação de uma elipse que tem os vértices em A1(-6,0) e A2(6,0), e que também passa pelo ponto P(2, 2 raiz2). A gente vai usar a fórmula da elipse e algumas informações sobre os seus elementos principais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse com eixo maior horizontal e centrada na origem é dada por:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, a é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x, e b é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo y.

Passo 3

Os vértices da elipse são A1(-6,0) e A2(6,0). Isso significa que a distância do centro aos vértices no eixo x é 6, ou seja, a = 6. Vamos substituir esse valor na equação:
x^236 + y^2b^2 = 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de b. Para isso, vamos usar o ponto P(2, 2 raiz2) que está na elipse. Vamos substituir x = 2 e y = 2raiz2 na equação da elipse:
(2)^236 + (2raiz2)^2b^2 = 1
Simplificando:
436 + 8b^2 = 1
19 + 8b^2 = 1

Passo 5

Vamos isolar 8b^2:
8b^2 = 1 - 19
8b^2 = 89
Agora, multiplicamos ambos os lados por b^2 e depois por 9 para resolver para b^2:
8 times 9 = 8 b^2
72 = 8 b^2
b^2 = 9
Portanto, b = 3.

Passo 6

Com o valor de b encontrado, podemos escrever a equação final da elipse substituindo na fórmula original:
x^236 + y^29 = 1

Resposta

A equação da elipse que satisfaz as condições dadas é:
x^236 + y^29 = 1

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