Obter uma equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Esboçar o gráfico. Vértices e passa pelo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar a equação de uma elipse que tem os vértices em e , e que também passa pelo ponto . A gente vai usar a fórmula da elipse e algumas informações sobre os seus elementos principais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse com eixo maior horizontal e centrada na origem é dada por:
Aqui, é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x, e é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo y.

Passo 3

Os vértices da elipse são e . Isso significa que a distância do centro aos vértices no eixo x é 6, ou seja, . Vamos substituir esse valor na equação:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, vamos usar o ponto que está na elipse. Vamos substituir e na equação da elipse:
Simplificando:

Passo 5

Vamos isolar :
Agora, multiplicamos ambos os lados por e depois por 9 para resolver para :
Portanto, .

Passo 6

Com o valor de encontrado, podemos escrever a equação final da elipse substituindo na fórmula original:

Resposta

A equação da elipse que satisfaz as condições dadas é:

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Determine a equação reduzida, o vértice, o foco, o eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Esbuçar o gráfico.
Dados os vetores e .
a) Eles são LIs?
Dados os vetores e .
b) Eles geram o ? Justifique.