Determine a equação reduzida, o vértice, o foco, o eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Esbuçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, temos aqui uma parábola definida pela equação
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para encontrar a equação reduzida, identificar o vértice, o foco, o eixo, a diretriz e esboçar o gráfico da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola vertical. Isso envolverá completar o quadrado para a parte do
.
A equação inicial é:
Vamos isolar os termos de
e os termos constantes:
Agora, completamos o quadrado para a expressão
:
Dividindo ambos os lados por 16 para isolar
:
Dividindo:
Rearranjando:
Essa é a equação reduzida da parábola.
Passo 3
Agora, identificamos o vértice. A forma reduzida da parábola é
, onde
é o vértice.
Comparando com nossa equação:
Podemos ver que:
Então, o vértice é
.
Passo 4
Para encontrar o foco, usamos a fórmula
, onde
.
Calculando
:
Como a parábola abre para cima (porque
), o foco está
unidades acima do vértice.
Então, as coordenadas do foco são:
Passo 5
O eixo de simetria da parábola é a linha vertical que passa pelo vértice. No nosso caso, como o vértice está em
, o eixo é:
Passo 6
A diretriz é uma linha horizontal que está
unidades abaixo do vértice. Já que
, a diretriz está em:
Então, uma equação da diretriz é:
Resposta
- Equação reduzida:
- Vértice:
- Foco:
- Eixo de simetria:
- Diretriz:
A parábola abre para cima, com vértice em (-1,3), foco em (-1,7), eixo de simetria vertical em x = -1 e diretriz na linha y = -1.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
.
a) Eles são LIs?
a) Eles são LIs?
Determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham: O conjunto de todas as matrizes
da forma
com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Obter uma equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Esboçar o gráfico. Vértices
e passa pelo ponto
.