Determine a equação reduzida, o vértice, o foco, o eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Esbuçar o gráfico.
x^2-16 y+2 x+49=0

Passo 1

Beleza, temos aqui uma parábola definida pela equação . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para encontrar a equação reduzida, identificar o vértice, o foco, o eixo, a diretriz e esboçar o gráfico da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola vertical. Isso envolverá completar o quadrado para a parte do x^2 + 2x - 16y + 49 = 0 .
A equação inicial é:
x^2 + 2x = 16y - 49
Vamos isolar os termos de x^2 + 2x + 1 = 16y - 49 + 1 e os termos constantes:
(x + 1)^2 = 16y - 48
Agora, completamos o quadrado para a expressão (x + 1)^2 = 16(y - 3) :
y - 3 = 116(x + 1)^2
y = 116(x + 1)^2 + 3
Dividindo ambos os lados por 16 para isolar :
Dividindo:
Rearranjando:
Essa é a equação reduzida da parábola.

Passo 3

Agora, identificamos o vértice. A forma reduzida da parábola é y = 116(x + 1)^2 + 3 , onde h = -1 e k = 3 é o vértice.
Comparando com nossa equação:
Podemos ver que:
Então, o vértice é .

Passo 4

Para encontrar o foco, usamos a fórmula p = 14 times 116 = 114 = 4 , onde (-1, 3 + 4) = (-1, 7) .
Calculando :
Como a parábola abre para cima (porque ), o foco está unidades acima do vértice.
Então, as coordenadas do foco são:

Passo 5

O eixo de simetria da parábola é a linha vertical que passa pelo vértice. No nosso caso, como o vértice está em x = -1 , o eixo é:

Passo 6

A diretriz é uma linha horizontal que está y = 3 - 4 = -1 unidades abaixo do vértice. Já que y = -1 , a diretriz está em:
Então, uma equação da diretriz é:

Resposta

  • Equação reduzida:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Eixo de simetria:
  • Diretriz:
A parábola abre para cima, com vértice em (-1,3), foco em (-1,7), eixo de simetria vertical em x = -1 e diretriz na linha y = -1.

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