Dados os vetores u=(2,3,-1) e v=(1,6,-3). Calcular
b) A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma questão de geometria vetorial! A gente tem dois vetores, u = (2, 3, -1) e v = (1, 6, -3), e precisa encontrar a altura do paralelogramo que tem a base definida pelo vetor u. Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre u e v, que é representado por u times v. O produto vetorial nos dá um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais e cuja magnitude é igual à área do paralelogramo formado por u e v.
A fórmula do produto vetorial para vetores em três dimensões é:
u times v = i & j & k 2 & 3 & -1 1 & 6 & -3

Passo 3

Calculando o determinante:
u times v = i(3 cdot (-3) - (-1) cdot 6) - j(2 cdot (-3) - (-1) cdot 1) + k(2 cdot 6 - 3 cdot 1)
u times v = i(-9 + 6) - j(-6 + 1) + k(12 - 3)
u times v = i(-3) - j(-5) + k(9)
u times v = (-3, 5, 9)

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude do produto vetorial, que representa a área do paralelogramo:
|u times v| = raiz(-3)^2 + 5^2 + 9^2 = raiz9 + 25 + 81 = raiz115

Passo 5

Em seguida, calculamos a magnitude do vetor u, que será a nossa base:
|u| = raiz2^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14

Passo 6

A altura do paralelogramo em relação à base u é dada pela fórmula:
h = |u times v||u| = raiz115raiz14 = raiz11514 approx 2,87

Resposta

A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u é aproximadamente 2,87 unidades.

Exercícios relacionados