Dados os vetores u=(3,0,1) e v=(1,-2,1), determinar proju v.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que você pediu. Temos dois vetores no espaço tridimensional: u = (3, 0, 1) e v = (1, -2, 1). O exercício quer que a gente encontre a projeção de v sobre u, que é denotada por proju v.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de projeção de vetores, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. A projeção basicamente nos mostra quanto de um vetor está direcionado na direção de outro vetor. Para calcular isso, precisamos usar uma fórmula que envolve o produto escalar dos vetores e o módulo do vetor sobre o qual estamos projetando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a projeção de v sobre u:
proju v = ( u cdot vu cdot u ) u
Aqui, o “·” representa o produto escalar entre os vetores. O produto escalar entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é calculado assim:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Vamos usar isso para encontrar os valores que precisamos.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (3)(1) + (0)(-2) + (1)(1) = 3 + 0 + 1 = 4
Então, u cdot v = 4.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot u, que é basicamente o quadrado do módulo de u:
u cdot u = (3)(3) + (0)(0) + (1)(1) = 9 + 0 + 1 = 10
Então, u cdot u = 10.

Passo 5

Com esses valores, podemos substituir na fórmula da projeção:
proju v = ( 410 ) u = 25 u
Isso significa que vamos multiplicar cada componente de u por 25.

Passo 6

Vamos fazer essa multiplicação:
25 u = 25 (3, 0, 1) = ( 25 times 3, 25 times 0, 25 times 1 ) = ( 65, 0, 25 )

Resposta

A projeção de v sobre u é proju v = ( dfrac65, 0, dfrac25 ).

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