Dados os vetores
e
, determinar
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que você pediu. Temos dois vetores no espaço tridimensional:
e
. O exercício quer que a gente encontre a projeção de
sobre
, que é denotada por
.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de projeção de vetores, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. A projeção basicamente nos mostra quanto de um vetor está direcionado na direção de outro vetor. Para calcular isso, precisamos usar uma fórmula que envolve o produto escalar dos vetores e o módulo do vetor sobre o qual estamos projetando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a projeção de
sobre
:
Aqui, o “·” representa o produto escalar entre os vetores. O produto escalar entre dois vetores
e
é calculado assim:
Vamos usar isso para encontrar os valores que precisamos.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
, que é basicamente o quadrado do módulo de
:
Então,
.
Passo 5
Com esses valores, podemos substituir na fórmula da projeção:
Isso significa que vamos multiplicar cada componente de
por
.
Passo 6
Vamos fazer essa multiplicação:
Resposta
A projeção de
sobre
é
.