Seja C^prime prime(R) o espaço vetorial das funções que admitem derivadas até a n-ésima ordent. para cada n in N. Prove que a função F: C^3(R) longrightarrow C(R) dada por F(y(t))=y^prime prime prime(t)-y^prime prime(t)+3 y(t) é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a função , definida por , é uma transformação linear. Isso está dentro do estudo de transformações lineares em espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar o que caracteriza uma transformação linear: ela deve respeitar a aditividade e a homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer funções e no espaço vetorial, e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Verificando a aditividade:
Vamos calcular F(y1(t) + y2(t)) = (y1 + y2)'''(t) - (y1 + y2)''(t) + 3(y1 + y2)(t) :
= y1'''(t) + y2'''(t) - y1''(t) - y2''(t) + 3y1(t) + 3y2(t)
Derivando termo a termo:
= (y1'''(t) - y1''(t) + 3y1(t)) + (y2'''(t) - y2''(t) + 3y2(t)) = F(y1(t)) + F(y2(t))
Reagrupando:
Então, . A aditividade está comprovada.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Vamos calcular F(c cdot y(t)) = (c cdot y(t))''' - (c cdot y(t))'' + 3(c cdot y(t)) :
= c cdot y'''(t) - c cdot y''(t) + 3c cdot y(t)
Derivando termo a termo:
= c cdot (y'''(t) - y''(t) + 3y(t)) = c cdot F(y(t))
Fatorando o escalar :
Portanto, . A homogeneidade está comprovada.

Resposta

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que a função é, de fato, uma transformação linear.

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