Seja
o espaço vetorial das funções que admitem derivadas até a
-ésima ordent. para cada
. Prove que a função
dada por
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a função
, definida por
, é uma transformação linear. Isso está dentro do estudo de transformações lineares em espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar o que caracteriza uma transformação linear: ela deve respeitar a aditividade e a homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer funções
e
no espaço vetorial, e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
dada.
Passo 3
Verificando a aditividade:
Vamos calcular
:
Derivando termo a termo:
Reagrupando:
Então,
. A aditividade está comprovada.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Vamos calcular
:
Derivando termo a termo:
Fatorando o escalar
:
Portanto,
. A homogeneidade está comprovada.
Resposta
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que a função
é, de fato, uma transformação linear.