Prove que a função F: M2(R) longrightarrow R dada por F([lla & b c & d])=3 a-4 b+c-d ć uma transformação linear.

Passo 1

O problema nos pede para provar que a função F( a & b c & d ) = 3a - 4b + c - d , definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos revisar o conceito de transformação linear e verificar se atende aos critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma transformação é linear se, para quaisquer matrizes e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a propriedade da adição:
Sejam a & b c & d e e & f g & h .
Calculamos A + B = a + e & b + f c + g & d + h :
F(A + B) = 3(a + e) - 4(b + f) + (c + g) - (d + h)
Aplicando F(A + B) = 3a + 3e - 4b - 4f + c + g - d - h :
F(A + B) = (3a - 4b + c - d) + (3e - 4f + g - h) = F(A) + F(B)
Distribuindo os termos:
Podemos reescrever isso como:
Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Sejam a & b c & d e kA = ka & kb kc & kd um escalar.
Calculamos F(kA) = 3(ka) - 4(kb) + (kc) - (kd) :
F(kA) = k(3a - 4b + c - d) = kF(A)
Aplicando :
Factorando :
Assim, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear.

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