Prove que a função
dada por
ć uma transformação linear.
Passo 1
O problema nos pede para provar que a função
, definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos revisar o conceito de transformação linear e verificar se
atende aos critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma transformação
é linear se, para quaisquer matrizes
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a propriedade da adição:
Sejam
e
.
Calculamos
:
Aplicando
:
Distribuindo os termos:
Podemos reescrever isso como:
Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Sejam
e
um escalar.
Calculamos
:
Aplicando
:
Factorando
:
Assim, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que
é uma transformação linear.