Seja f: A (1,10] dada por f(x)=4-11 x4-2 x.
É verdade que f é sobrejetora?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se a função , definida por , é sobrejetora. Para isso, vamos usar o conceito de sobrejetividade, que faz parte do estudo de funções na matemática. Precisamos verificar se, para todo valor no conjunto de chegada , existe pelo menos um no conjunto de partida que mapeia para esse valor.

Passo 2

Primeiro, recordamos que uma função é sobrejetora se sua imagem (conjunto de valores que a função pode assumir) cobre todo o conjunto de chegada. Ou seja, para cada em , devemos encontrar um tal que .

Passo 3

Vamos começar igualando 4 - 11x4 - 2x = y a :
Nosso objetivo é resolver essa equação para em termos de .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 4 - 11x = y(4 - 2x) para eliminar o denominador:

Passo 5

Distribuímos o 4 - 11x = 4y - 2xy no lado direito:

Passo 6

Rearranjamos os termos para isolar os termos com 4 - 4y = 11x - 2xy de um lado:

Passo 7

Fatoramos 4 - 4y = x(11 - 2y) no lado direito:

Passo 8

Resolvemos para x = 4 - 4y11 - 2y = 4(1 - y)11 - 2y :

Passo 9

Agora, precisamos garantir que para todo em , o valor de encontrado está no conjunto de partida . Assumindo que é o domínio onde a função está definida, precisamos verificar se há algum valor de que faça o denominador ser zero, o que não é o caso dentro do intervalo .

Passo 10

Além disso, verificamos que para cada em , existe um correspondente que satisfaz a equação, o que significa que a imagem de cobre todo o conjunto de chegada.

Resposta

Sim, a função é sobrejetora, pois para todo em , existe um em tal que .

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