Seja
dada por
.
É verdade que
é sobrejetora?
É verdade que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se a função
, definida por
, é sobrejetora. Para isso, vamos usar o conceito de sobrejetividade, que faz parte do estudo de funções na matemática. Precisamos verificar se, para todo valor no conjunto de chegada
, existe pelo menos um
no conjunto de partida
que mapeia para esse valor.
Passo 2
Primeiro, recordamos que uma função é sobrejetora se sua imagem (conjunto de valores que a função pode assumir) cobre todo o conjunto de chegada. Ou seja, para cada
em
, devemos encontrar um
tal que
.
Passo 3
Vamos começar igualando
a
:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
em termos de
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Passo 5
Distribuímos o
no lado direito:
Passo 6
Rearranjamos os termos para isolar os termos com
de um lado:
Passo 7
Fatoramos
no lado direito:
Passo 8
Resolvemos para
:
Passo 9
Agora, precisamos garantir que para todo
em
, o valor de
encontrado está no conjunto de partida
. Assumindo que
é o domínio onde a função está definida, precisamos verificar se há algum valor de
que faça o denominador
ser zero, o que não é o caso dentro do intervalo
.
Passo 10
Além disso, verificamos que para cada
em
, existe um
correspondente que satisfaz a equação, o que significa que a imagem de
cobre todo o conjunto de chegada.
Resposta
Sim, a função
é sobrejetora, pois para todo
em
, existe um
em
tal que
.