Resolver os sistemas homogêneos abaixo:
c 3 - y + 2 z - t = 0 3 x + y + 3 z + t = 0 x - y - z - 5 t = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações homogêneas que você me passou. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a resolução de sistemas lineares usando matrizes. Para resolver, vamos precisar organizar as equações em forma de matriz e aplicar métodos de eliminação para achar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a visualização:
3 - y + 2z - t = 0 3x + y + 3z + t = 0 x - y - z - 5t = 0
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem todas essas equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos organizar esse sistema em uma matriz aumentada para aplicar o método de eliminação de Gauss. A matriz fica assim:
0 & -1 & 2 & -1 & | & -3 3 & 1 & 3 & 1 & | & 0 1 & -1 & -1 & -5 & | & 0
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna, uma variável, sendo a última coluna os termos constantes.

Passo 4

Vamos começar eliminando o 0 & -1 & 2 & -1 & | & -3 3 & 1 & 3 & 1 & | & 0 1 & -1 & -1 & -5 & | & 0 das segunda e terceira equações. Para isso, mantemos a primeira linha como está e manipulamos as outras linhas:
  • Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da segunda linha.
  • Multiplicamos a primeira linha por 1 e subtraímos da terceira linha.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
0 & -1 & 2 & -1 & | & -3 0 & 4 & -3 & 4 & | & 9 0 & 0 & 1 & -4 & | & -3
Após as operações, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a terceira equação da matriz reduzida:
0x + 0y + 1z - 4t = -3
Isso simplifica para:
z - 4t = -3 implies z = 4t - 3

Passo 6

Em seguida, resolvemos a segunda equação:
0x + 4y - 3z + 4t = 9
Substituímos 4y - 3(4t - 3) + 4t = 9 4y - 12t + 9 + 4t = 9 4y - 8t + 9 = 9 4y - 8t = 0 implies y = 2t por :

Passo 7

Finalmente, usamos a primeira equação para encontrar 0x - y + 2z - t = -3 . A primeira equação na matriz reduzida é:
-2t + 2(4t - 3) - t = -3 -2t + 8t - 6 - t = -3 5t - 6 = -3 5t = 3 implies t = 35
Substituímos y = 2t = 2 ( 35 ) = 65 z = 4t - 3 = 4 ( 35 ) - 3 = 125 - 155 = -35 e x - y - z - 5t = 0 x - 65 - (-35) - 5 ( 35 ) = 0 x - 65 + 35 - 3 = 0 x - 35 - 3 = 0 x = 3 + 35 = 185 :
Agora, voltando para e :
E para , usando a terceira equação original:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 185, y = 65, z = -35, t = 35

Exercícios relacionados