Resolver os sistemas homogêneos abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações homogêneas que você me passou. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a resolução de sistemas lineares usando matrizes. Para resolver, vamos precisar organizar as equações em forma de matriz e aplicar métodos de eliminação para achar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem todas essas equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos organizar esse sistema em uma matriz aumentada para aplicar o método de eliminação de Gauss. A matriz fica assim:
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna, uma variável, sendo a última coluna os termos constantes.

Passo 4

Vamos começar eliminando o das segunda e terceira equações. Para isso, mantemos a primeira linha como está e manipulamos as outras linhas:
  • Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da segunda linha.
  • Multiplicamos a primeira linha por 1 e subtraímos da terceira linha.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
Após as operações, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a terceira equação da matriz reduzida:
Isso simplifica para:

Passo 6

Em seguida, resolvemos a segunda equação:
Substituímos por :

Passo 7

Finalmente, usamos a primeira equação para encontrar . A primeira equação na matriz reduzida é:
Substituímos e :
Agora, voltando para e :
E para , usando a terceira equação original:

Resposta

A solução do sistema é:

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