Quais dos seguintes são subespaços de C[0,1] (espaço das funções contínuas no intervalo [0,1] ):
(a) Todas as funções contínuas que se anulam em 0 e 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo que se anulam em e forma um subespaço do espaço . O conteúdo que vamos precisar envolve álgebra linear e os conceitos de subespaço vetorial. Vamos verificar se esse conjunto satisfaz os três requisitos para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o conjunto contém o vetor zero. No nosso contexto, o vetor zero é a função que é zero em todos os pontos do intervalo , ou seja, para todo . Essa função claramente se anula em e , então ela está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções (f + g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0 e (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0 que se anulam em e , a função também deve se anular em e . Vamos verificar:
Então, também se anula em e , o que significa que o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se (c cdot f)(0) = c cdot f(0) = c cdot 0 = 0 está no conjunto e (c cdot f)(1) = c cdot f(1) = c cdot 0 = 0 é um número real qualquer, então também deve estar no conjunto. Vamos conferir:
Portanto, também se anula em e , mostrando que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo que se anulam em e é um subespaço de .

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