Quais dos seguintes são subespaços de
(espaço das funções contínuas no intervalo
):
(a) Todas as funções contínuas que se anulam em 0 e 1.
(a) Todas as funções contínuas que se anulam em 0 e 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo
que se anulam em
e
forma um subespaço do espaço
. O conteúdo que vamos precisar envolve álgebra linear e os conceitos de subespaço vetorial. Vamos verificar se esse conjunto satisfaz os três requisitos para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o conjunto contém o vetor zero. No nosso contexto, o vetor zero é a função que é zero em todos os pontos do intervalo
, ou seja,
para todo
. Essa função claramente se anula em
e
, então ela está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções
e
que se anulam em
e
, a função
também deve se anular em
e
. Vamos verificar:
Então,
também se anula em
e
, o que significa que o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se
está no conjunto e
é um número real qualquer, então
também deve estar no conjunto. Vamos conferir:
Portanto,
também se anula em
e
, mostrando que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo
que se anulam em
e
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Determinar o vetor
, ortogonal ao eixo
e
, sendo
Dados os vetores
e
, calcular:
Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar:
.
Seja
. Qual é o vetor nulo de
? Se
, quem é
?