Dados os vetores
e
, calcular
valor de a para que a área do paralelogramo determinado por
e
seja igual a
.
Passo 1
Beleza! A gente tem dois vetores,
e
. A pergunta é: qual o valor de
para que a área do paralelogramo formado por esses vetores seja igual a
. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área do paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores. Ou seja:
Então, precisamos calcular o produto vetorial de
e
e igualar o seu módulo a
.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. Para dois vetores
e
, o produto vetorial é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultante. O módulo de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Sabemos que essa área deve ser igual a
. Então, igualamos as duas expressões:
Para resolver, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver
:
Calculando o discriminante:
A raiz quadrada de 676 é 26, então:
Passo 7
Vamos calcular as duas possibilidades:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.