Dados os vetores u=(4,2,1) e v=(a,-5,-2), calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a raiz38.

Passo 1

Beleza! A gente tem dois vetores, e . A pergunta é: qual o valor de para que a área do paralelogramo formado por esses vetores seja igual a . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área do paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores. Ou seja:
Área = |u times v| Á
Então, precisamos calcular o produto vetorial de e e igualar o seu módulo a .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v = ( u2v3 - u3v2, ; u3v1 - u1v3, ; u1v2 - u2v1 ) . Para dois vetores u times v = ( 2 cdot (-2) - 1 cdot (-5), ; 1 cdot a - 4 cdot (-2), ; 4 cdot (-5) - 2 cdot a ) e u times v = ( -4 + 5, ; a + 8, ; -20 - 2a ) = (1, ; a + 8, ; -20 - 2a) , o produto vetorial é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultante. O módulo de um vetor |w| = raizx^2 + y^2 + z^2 é:
|u times v| = raiz1^2 + (a + 8)^2 + (-20 - 2a)^2
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
raiz1 + (a + 8)^2 + ( -20 - 2a)^2 = raiz1 + (a^2 + 16a + 64) + (4a^2 + 80a + 400)
Simplificando dentro da raiz:
= raiz1 + a^2 + 16a + 64 + 4a^2 + 80a + 400 = raiz5a^2 + 96a + 465

Passo 5

Sabemos que essa área deve ser igual a raiz5a^2 + 96a + 465 = raiz38 . Então, igualamos as duas expressões:
5a^2 + 96a + 465 = 38
Para resolver, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
5a^2 + 96a + 465 - 38 = 0 implies 5a^2 + 96a + 427 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a = -96 pm raiz96^2 - 4 cdot 5 cdot 4272 cdot 5 :
De
Calculando o discriminante:
a = -96 pm 2610
A raiz quadrada de 676 é 26, então:

Passo 7

Vamos calcular as duas possibilidades:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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