Sejam os pontos A(-1,-1,2), B(2,1,1) e C(m,-5,3)
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A ?

Passo 1

Então, a gente tem os pontos A(-1,-1,2), B(2,1,1) e C(m,-5,3). A questão quer saber para qual valor de m o triângulo formado por esses pontos, o triang<= ABC, é retângulo no ponto A. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso, especificamente a ideia de que em um triângulo retângulo, o produto escalar dos vetores que formam o ângulo reto é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que partem de A para B e de A para C. Isso significa calcular AB e AC.
  • AB = B - A = (2 - (-1), 1 - (-1), 1 - 2) = (3, 2, -1)
  • AC = C - A = (m - (-1), -5 - (-1), 3 - 2) = (m + 1, -4, 1)

Passo 3

Agora, para que o triângulo seja retângulo em A, o ângulo em A precisa ser 90^circ. Isso acontece quando o produto escalar de AB e AC for zero. O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar de AB e AC:
AB cdot AC = (3)(m + 1) + (2)(-4) + (-1)(1)
Simplificando:
3(m + 1) + (-8) + (-1) = 3m + 3 - 8 - 1 = 3m - 6

Passo 5

Para que o triângulo seja retângulo em A, esse produto escalar precisa ser zero:
3m - 6 = 0
Resolvendo a equação para m:
3m = 6 m = 2

Resposta

O valor de m que faz o triângulo triang<= ABC ser retângulo em A é m = 2.

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