Determinar um sistema de geradores para cada um dos subespaços do
dados abaixo
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é encontrar sistemas de geradores para alguns subespaços do
. Isso envolve entender o que define cada subespaço e, a partir disso, identificar vetores que “geram” todo o subespaço. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares e combinação linear de vetores.
Passo 2
Parte a:
Primeiro, vamos interpretar a condição
. Isso significa que
. O subespaço
consiste em todos os vetores
onde
é o dobro de
, e
pode ser qualquer valor real.
Passo 3
Para encontrar um sistema de geradores, precisamos expressar
,
e
em termos de variáveis livres. Aqui,
e
são livres porque podemos escolher qualquer valor para eles.
Então, podemos escrever:
Portanto, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Passo 4
Assim, os vetores
e
geram o subespaço
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser obtido como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 5
Parte b:
Aqui temos duas equações:
Precisamos resolver esse sistema para expressar os vetores em termos de variáveis livres.
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
- Da segunda equação,
. - Substituindo na primeira equação:
.
Portanto, expressamos
e
em termos de
.
Passo 7
Assim, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Isso mostra que todos os vetores em
são múltiplos do vetor
.
Passo 8
Então, o sistema de geradores para
é o conjunto contendo apenas o vetor
.
Passo 9
Parte c:
Aqui, temos uma única equação:
Queremos expressar os vetores em termos de variáveis livres para encontrar um sistema de geradores.
Passo 10
Vamos resolver para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para
:
Assim, expressamos
em termos de
e
, que serão nossas variáveis livres.
Passo 11
Portanto, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Isso mostra que os vetores
e
geram o subespaço
.
Passo 12
Logo, o sistema de geradores para
é o conjunto contendo os vetores
e
.
Passo 13
Parte d:
A soma de dois subespaços
e
, denotada por
, consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Passo 14
Dos passos anteriores:
Então, para encontrar
, consideramos combinações lineares dos vetores de
e
.
Passo 15
Calculando a união:
Mas notamos que
já pode ser escrito como uma combinação de
e
:
Isso significa que
não adiciona nada de novo ao gerador.
Passo 16
Assim, um sistema de geradores para
é apenas
.
Passo 17
Parte e:
A interseção de dois subespaços
e
, denotada por
, consiste em todos os vetores que pertencem a ambos os subespaços.
Passo 18
Usando os sistemas de
e
:
Para que um vetor pertença a ambos, as expressões para
devem ser iguais:
Passo 19
Agora, expressamos
,
, e
em termos de
:
Portanto, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Passo 20
Então, o sistema de geradores para
é o conjunto contendo o vetor
.
Resposta
a. Um sistema de geradores para
é
b. Um sistema de geradores para
é
c. Um sistema de geradores para
é
d. Um sistema de geradores para
é
e. Um sistema de geradores para
é