Determinar um sistema de geradores para cada um dos subespaços do R^3 dados abaixo
a. U=(x, y, z) in R^3 mid x-2 y=0
b. V=(x, y, z) in R^3 mid x+z=0, x-2 y=0
c. W=(x, y, z) in R^3 mid x+2 y-3 z=0
d. U+V
e. U cap W

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é encontrar sistemas de geradores para alguns subespaços do R^3. Isso envolve entender o que define cada subespaço e, a partir disso, identificar vetores que “geram” todo o subespaço. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares e combinação linear de vetores.

Passo 2

Parte a: U=(x, y, z) in R^3 mid x-2 y=0
Primeiro, vamos interpretar a condição x - 2y = 0. Isso significa que x = 2y. O subespaço U consiste em todos os vetores (x, y, z) onde x é o dobro de y, e z pode ser qualquer valor real.

Passo 3

Para encontrar um sistema de geradores, precisamos expressar x, y e z em termos de variáveis livres. Aqui, y e z são livres porque podemos escolher qualquer valor para eles.
Então, podemos escrever:
x = 2y
y = y
z = z
Portanto, qualquer vetor em U pode ser escrito como:
(x, y, z) = (2y, y, z) = y(2, 1, 0) + z(0, 0, 1)

Passo 4

Assim, os vetores (2, 1, 0) e (0, 0, 1) geram o subespaço U. Isso significa que qualquer vetor em U pode ser obtido como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 5

Parte b: V=(x, y, z) in R^3 mid x+z=0, x-2 y=0
Aqui temos duas equações:
x + z = 0 e x - 2y = 0
Precisamos resolver esse sistema para expressar os vetores em termos de variáveis livres.

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
  1. Da segunda equação, x = 2y.
  2. Substituindo na primeira equação: 2y + z = 0 Rightarrow z = -2y.
Portanto, expressamos x e z em termos de y.

Passo 7

Assim, qualquer vetor em V pode ser escrito como:
(x, y, z) = (2y, y, -2y) = y(2, 1, -2)
Isso mostra que todos os vetores em V são múltiplos do vetor (2, 1, -2).

Passo 8

Então, o sistema de geradores para V é o conjunto contendo apenas o vetor (2, 1, -2).

Passo 9

Parte c: W=(x, y, z) in R^3 mid x+2 y-3 z=0
Aqui, temos uma única equação:
x + 2y - 3z = 0
Queremos expressar os vetores em termos de variáveis livres para encontrar um sistema de geradores.

Passo 10

Vamos resolver para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para x:
x = -2y + 3z
Assim, expressamos x em termos de y e z, que serão nossas variáveis livres.

Passo 11

Portanto, qualquer vetor em W pode ser escrito como:
(x, y, z) = (-2y + 3z, y, z) = y(-2, 1, 0) + z(3, 0, 1)
Isso mostra que os vetores (-2, 1, 0) e (3, 0, 1) geram o subespaço W.

Passo 12

Logo, o sistema de geradores para W é o conjunto contendo os vetores (-2, 1, 0) e (3, 0, 1).

Passo 13

Parte d: U + V
A soma de dois subespaços U e V, denotada por U + V, consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de V.

Passo 14

Dos passos anteriores:
U é >=rado por (2, 1, 0), (0, 0, 1) é
V é >=rado por (2, 1, -2) é
Então, para encontrar U + V, consideramos combinações lineares dos vetores de U e V.

Passo 15

Calculando a união:
U + V = span(2, 1, 0), (0, 0, 1), (2, 1, -2)
Mas notamos que (2, 1, -2) já pode ser escrito como uma combinação de (2, 1, 0) e (0, 0, 1):
(2, 1, -2) = (2, 1, 0) + (-2)(0, 0, 1)
Isso significa que (2, 1, -2) não adiciona nada de novo ao gerador.

Passo 16

Assim, um sistema de geradores para U + V é apenas (2, 1, 0), (0, 0, 1).

Passo 17

Parte e: U cap W
A interseção de dois subespaços U e W, denotada por U cap W, consiste em todos os vetores que pertencem a ambos os subespaços.

Passo 18

Usando os sistemas de U e W:
U: x = 2y
W: x = -2y + 3z
Para que um vetor pertença a ambos, as expressões para x devem ser iguais:
2y = -2y + 3z Rightarrow 4y = 3z Rightarrow z = 43y

Passo 19

Agora, expressamos x, y, e z em termos de y:
x = 2y
y = y
z = 43y
Portanto, qualquer vetor em U cap W pode ser escrito como:
(x, y, z) = (2y, y, 43y) = y(2, 1, 43)

Passo 20

Então, o sistema de geradores para U cap W é o conjunto contendo o vetor (2, 1, 43).

Resposta

a. Um sistema de geradores para U é , (2, 1, 0), (0, 0, 1) ,
b. Um sistema de geradores para V é , (2, 1, -2) ,
c. Um sistema de geradores para W é , (-2, 1, 0), (3, 0, 1) ,
d. Um sistema de geradores para U + V é , (2, 1, 0), (0, 0, 1) ,
e. Um sistema de geradores para U cap W é , (2, 1, 43) ,

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