Mostre que: |u+v| <=|u|+|v|.

Passo 1

Beleza, então a gente precisa mostrar que a norma da soma de dois vetores, |u + v|, é menor ou igual à soma das normas desses vetores, ou seja, |u| + |v|. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a desigualdade triangular e o produto interno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma, |u|, de um vetor u, é basicamente o comprimento desse vetor e pode ser calculada usando o produto interno:
|u| = raizu cdot u
Daí a gente quer calcular |u + v|. Segundo a fórmula da norma:
|u + v| = raiz(u + v) cdot (u + v)

Passo 3

Vamos expandir esse produto interno:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + 2,u cdot v + v cdot v
Então,
|u + v| = raiz|u|^2 + 2,u cdot v + |v|^2

Passo 4

Agora, vamos utilizar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que diz que:
|u cdot v| <= |u|,|v|
Aplicando isso na expressão acima:
|u + v| <= raiz|u|^2 + 2,|u|,|v| + |v|^2

Passo 5

Vamos simplificar a raiz quadrada:
raiz|u|^2 + 2,|u|,|v| + |v|^2 = raiz(|u| + |v|)^2 = |u| + |v|

Resposta

Portanto, mostramos que |u + v| <= |u| + |v|.

Exercícios relacionados