Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, então a gente precisa mostrar que a norma da soma de dois vetores,
, é menor ou igual à soma das normas desses vetores, ou seja,
. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a desigualdade triangular e o produto interno para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma,
, de um vetor
, é basicamente o comprimento desse vetor e pode ser calculada usando o produto interno:
Daí a gente quer calcular
. Segundo a fórmula da norma:
Passo 3
Vamos expandir esse produto interno:
Então,
Passo 4
Agora, vamos utilizar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que diz que:
Aplicando isso na expressão acima:
Passo 5
Vamos simplificar a raiz quadrada:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Demostre que os períodos de oscilações de blocos iguais de massa
unidos por molas de mesma constante elástica
independente da orientação do plano de oscilação possuirão o mesmo período igual:
.
Dados os vetores
e
, calcule a área do paralelogramo determinado por
e
Encontre a área do triângulo cujos vértices são
Se as funções
e
são tais que
é injetora, então
é injetora.