Dados vetores u=(3,1,6) e v=(-2,0,1), calcule: A medida do ângulo theta entre u e v;

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores e , e queremos descobrir o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 e u cdot v = 3 times (-2) + 1 times 0 + 6 times 1 = -6 + 0 + 6 = 0 . O produto escalar é dado por:
Substituindo os valores dos vetores:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as normas (ou comprimentos) dos vetores ||a|| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 e ||u|| = raiz3^2 + 1^2 + 6^2 = raiz9 + 1 + 36 = raiz46 . A norma de um vetor ||v|| = raiz(-2)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz4 + 0 + 1 = raiz5 é calculada por:
Vamos calcular para :
E para :

Passo 4

Com o produto escalar e as normas calculadas, podemos encontrar o cosseno do ângulo cos theta = u cdot v||u|| times ||v|| usando a fórmula:
cos theta = 0raiz46 times raiz5 = 0
Substituindo os valores:
theta = arccos(0) = 90^circ
Para encontrar o ângulo , aplicamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é .

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